同値

同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if（～のとき、かつそのときに限る）」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。

真理値表

命題 P	命題 Q	P ⇔ Q
真	真	真
真	偽	偽
偽	真	偽
偽	偽	真

性質

基本的な性質

同値の基本的な性質は以下の通り。
（$\Rightarrow$は論理包含（ならば）、$\land$は論理積（かつ））

• 反射律: $p\Leftrightarrow p$
• 対称律: $(p\Leftrightarrow q)\Rightarrow (q\Leftrightarrow p)$
• 推移律: $[(p\Leftrightarrow q)\land (q\Leftrightarrow r)]\Rightarrow (p\Leftrightarrow r)$

その他

他にも次のような性質がある。
（$\lnot$ は否定、$\veebar$ は排他的論理和）

• 反対称律: $[(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow p)]\Rightarrow (p\Leftrightarrow q)$
• $(p\Leftrightarrow q)\Leftrightarrow \lnot (p\veebar q)$

必要十分条件

二つの条件 p 、q に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす 」 というとき、「 p は q である為の十分条件である 」 あるいは 「 q は p である為の必要条件である 」 という。

また、「 p は q である為の十分条件であり、q は p である為の十分条件である 」 というとき、「 p は q である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 p と q とは同値である 」 という。

例 1

ある数が４の倍数である為には、その数は少なくとも偶数である必要がある。つまり、偶数であることは、４の倍数である為の必要条件である。ただし、偶数であっても、必ずしも４の倍数であるとは限らない。

また、ある数が４の倍数である為には、その数が８の倍数であれば十分である。つまり、８の倍数であることは、４の倍数である為の十分条件である。ただし、その数が８の倍数でなくとも、必ずしも４の倍数でないとは限らない。

他方、ある数が２の倍数である為には、その数は少なくとも偶数でなければならない。つまり、偶数であることは、２の倍数である為の必要条件である。また、その数が偶数であれば、その数は必ず２の倍数である。つまり、偶数であることは、２の倍数である為の十分条件である。すなわち、偶数であることは、２の倍数である為の必要十分条件であり、両者は同値である。

例 2

自然数変数 n についての条件 p(n), q(n) を次のように定める。

• p(n)： n > 10
• q(n)： 2n > 20

そのとき、p(n) は q(n) である為の必要十分条件である。すなわち、n > 10 は 2n > 20 である為の必要十分条件である。

例 3

実数変数 x についての条件 p(x), q(x) を次のように定める。

• p(x)： x > 0
• q(x)： x² > 0

そのとき、p(x) は q(x) である為の十分条件である。しかし、−1 は q(x) を満たすが ｐ(x) を満たさないので、 「q(x) を満たす実数は全て p(x) を満たす」 とはいえない。よって、q(x) は p(x) である為の十分条件ではない。従って、p(x) は q(x) である為の必要十分条件ではない。

例 4

￢、⇔ を論理演算とし、命題変数 A 、B についての条件 p(A, B), q(A, B) を次のように定める。 ( ￢ は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への 1 つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への 1 つの写像である。A 、B は { 真、偽 } の元の変数である。)

• p(A, B)： ￢( A ⇔B ) = 真
• q(A, B)： ( ￢A )⇔B = 真

そのとき、p(A, B) は q(A, B) である為の必要十分条件である。すなわち、「￢( A ⇔B ) = 真」 は 「( ￢A )⇔B = 真」 である為の必要十分条件である。

関連項目

• 数理論理学
• 命題
• 同一性

外部リンク

• Necessary and Sufficient Conditions （英語） - スタンフォード哲学百科事典「必要条件と十分条件」の項目。
• Weisstein, Eric W. "Equivalent". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Iff". mathworld.wolfram.com (英語).