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強圧的函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
強圧的関数から転送)

数学において強圧的函数(きょうあつてきかんすう、: coercive function)とは、それが定義されている空間の極限において「急速に成長する」函数である。文脈によって異なる定義が存在する。

強圧的ベクトル場

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ベクトル場 f : RnRn強圧的(coercive)であるとは、

が成り立つことをいう。ここで "" は通常のドット積で、 はベクトル x の通常のユークリッドノルムである。

コーシー=シュワルツの不等式より、 に対して が成り立つことから、強圧的ベクトル場は特にノルム強圧的でもある。しかし、ノルム強圧的な写像 f : RnRn は必ずしも強圧的ベクトル場ではない。例えば、90° の回転 f : R2R2, f(x) = (-x2, x1) はノルム強圧的であるが、すべての に対して であるため、強圧的ベクトル場ではない。

強圧的な作用素と形式

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を実ヒルベルト空間とするとき、自己共役作用素 強圧的(coercive)であるとは、ある定数 が存在して

内のすべての に対して成り立つことをいう。

双線型形式 強圧的であるとは、ある定数 が存在して

内のすべての に対して成り立つことをいう。

リースの表現定理より、任意の対称( 内のすべての に対して )、連続( 内のすべての とある定数 に対して )かつ強圧的な双線型形式 は、ある自己共役作用素 に対して次の表現を持つことが従う:

この作用素 は強圧的作用素であることが分かる。また逆に、強圧的な自己共役作用素 が与えられたとき、上式で定義される双線型形式 は強圧的である。

任意の自己共役作用素 が強圧的作用素であるための必要十分条件は、それが(ドット積をより一般の内積に置き換える必要があるが、ベクトル場の強圧性の意味において)強圧的な写像であることである。ベクトル場、作用素および双線型形式に対する強圧性の定義は、密接に関連しており、互いに矛盾しないものである。

ノルム強圧的写像

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二つのノルムベクトル空間 の間の写像 ノルム強圧的(norm-coercive)であるとは

が成立することをいう。より一般に、二つの位相空間 の間の函数 強圧的であるとは、 のすべてのコンパクト部分集合 に対して、 のあるコンパクト部分集合 が存在して、次が成り立つことをいう。

強圧的写像に対応する全単射固有写像合成は、強圧的である。

(拡大実数値)強圧的函数

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(拡大実数値)函数

強圧的であるとは、次が成り立つことをいう。

実数値強圧的函数 は特にノルム強圧的である。しかし、ノルム強圧的函数 は必ずしも強圧的ではない。例えば、 上の恒等函数はノルム強圧的であるが、強圧的ではない。

放射非有界函数の記事も参照されたい。

参考文献

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  • Renardy, Michael and Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations (Second ed.). New York, NY: Springer-Verlag. pp. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0 
  • Bashirov, Agamirza E (2003). Partially observable linear systems under dependent noises. Basel; Boston: Birkhäuser Verlag. ISBN 0-8176-6999-X 
  • Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). Elliptic partial differential equations of second order, 2nd ed. Berlin; New York: Springer. ISBN 3-540-41160-7 

この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Coercive Functionの本文を含む