弧 (射影幾何学)

有限射影幾何学における弧（こ、英: arc) とは $d$ 次元の有限射影空間上の、どのような $d + 1$ 個の点も決して同一超平面（余次元 $1$ 、つまり $d - 1$ 次元の部分空間）上にない点の集合である。

$d + 1$ をさらに小さくすることはできない。 $d$ 次元空間において、どのような $d$ 個の点をとってきても、そのうちの $d - 1$ 個の点が同一の $d - 2$ 次元の部分空間に属さない限り、それらの $d$ 個の点を通る $d - 1$ 次元超平面が一意に定まる。

有限射影平面における弧

特に、有限射影平面における弧とは有限射影平面上の、どの3点も同一直線状にない点の集合である。そのような $k$ 個の点の集合を特に $k$ -弧という(Dembowski 1955, Section 3.2)。

$k$ -弧に対して、そのうちのちょうど2点を通る直線を割線 (secant)、ちょうど1点を通る直線を接線 (tangent)、どの点も通らない直線を外線 (exterior line)という。

位数 $n$ の有限射影平面において弧の点の個数は $n + 2$ 以下である。というのは、弧の任意の1点 $P$ をとると、 $P$ を通る $n + 1$ 本の直線のそれぞれについて、弧に属する点は $P$ の他にあっても1点しか存在しないからである。位数 $n$ の有限射影平面における $k$ -弧の割線、接線、外線の数はそれぞれ ${\textstyle {k \choose 2},k(n+2-k),{n \choose 2}+{n+2-k \choose 2}}$ 本である。

$(n + 2)$ -弧が存在するとき $n$ は偶数でなければならない。というのは $(n + 2)$ -弧 $C$ の任意の1点 $P$ をとると、上と同様にして、 $P$ を通る $n + 1$ 本の直線のそれぞれについて、 $C$ と交わる点が $P$ 以外にちょうど1つずつ存在する。したがって $C$ の1点を通る直線は $C$ とちょうど2点で交わる。次に $C$ に属さない点 $Q$ を1つとる。 $Q$ を通る直線で $C$ と交わるもの $l 1, l 2, \dots, l m$ を考える。上記の理由から、各 $l i$ と $C$ の交点はちょうど2つである。 $C$ 上の各点について、その点と $Q$ を通る直線はただ1つ存在する。よって、 $n + 2 = 2 m$ が成り立つので、 $n = 2 m - 2$ は偶数でなければならない。

位数 $n$ の有限射影平面において $(n + 1)$ -弧をオーバル、 (n + 2)-弧をハイパーオーバルという。オーバルの各点はちょうど1つの接線をもつ。 $n$ が偶数のとき、これらの接線は1点で交わり、その1点を加えればハイパーオーバルを構成できる。

位数 $n$ （ $n$ は素数の冪とする）の有限体上の射影平面上の2次曲線はオーバルとなる。さらに、奇数位数の有限体上の射影平面上のオーバルはそのようなものに限る（セグレの定理（英語版）、(Segre 1955)）。

参考文献

Dembowski, Peter (1997), Finite geometries (reprint of the 1968 edition), Springer Verlag, doi:10.1007/978-3-642-62012-6, ISBN 978-3-642-62012-6, MR1434062
Segre（英語版）, Beniamino (1955), “Ovals in a finite projective space”, Canad. J. Math. 7: 414–416, doi:10.4153/CJM-1955-045-x, ISSN 1496-4279, MR0071034