導手

代数的整数論で、局所体や大域体の有限次アーベル拡大の導手(conductor)は、拡大の分岐を定量的に測るものである。導手の定義はアルティン写像に関連がある。

局所導手

L/K を非アルキメデス的局所体の有限アーベル拡大とすると、L/K の導手 ${\mathfrak {f}}(L/K)$ は、高次単数群（英語版）(higher unit group)

U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}_{K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}_{K}^{n})\right\}

が N_L/K(L^×) に含まれるような最小の非負な整数 n である。ここに、N_L/K は体のノルム(field norm)写像で、 ${\mathfrak {m}}_{K}$ は K の極大イデアル(maximal ideal)とする^[1]。同じことであるが、n は局所アルティン写像が $U_{K}^{(n)}$ 上で自明であるような最小の整数である。導手は、上記の n に対する ${\mathfrak {m}}_{K}^{n}$ として定義されることもある。^[2]

拡大の導手は分岐を測る。定量的には、拡大が不分岐であることと、導手が 0 であることとは同値であり^[3]、（拡大が）おとなしい分岐（英語版）(tamely ramified)であることと、導手が 1 であることとは同値である^[4]。さらに詳しくは、導手は高次分岐群（英語版）(higher ramification group)の非自明性を測ることができる。下付添え字の（英語版）(lower numbering)の高次分岐群 G_s が非自明であるような最も大きな整数を s とすると、 ${\mathfrak {f}}(L/K)=\eta _{L/K}(s)+1$ が成り立つ。ここに η_L/K は「下付添え字」を高次分岐群の上付き添え字（英語版）(upper numbering)へ変換する函数とする。^[5]

また、L/K の導手はガロア群 Gal(L/K) の指標のアルティン導手（英語版）(Artin conductor)とも関係している。特に、^[6]

{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}(L/K)}={\underset {\chi }{\mathrm {lcm} }}\,{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}

であり、ここに χ は Gal(L/K) の乗法的な複素指標（英語版）(multiplicative complex characters)の全てを渡り、 ${\mathfrak {f}}_{\chi }$ は χ のアルティン導手であり、lcm は最小公倍数である。

さらに一般的な体

導手は、局所体の必ずしもアーベル的ではない有限次ガロア拡大に対しても L/K と同じ方法で定義することができる^[7]。しかしながら、導手は「ノルム限定定理」のために、L の中での K の最大アーベル拡大である L^ab/K のみに依存する。ノルム極限定理は、この状況下では、

N_{L/K}(L^{\times })=N_{L^{\text{ab}}/K}\left((L^{\text{ab}})^{\times }\right)

を意味している^[8]^[9]。

加えて、局所体の場合よりも少し一般的な場合、つまり、準有限（英語版）(quasi-finite)な剰余体を持つ完備付値体の場合は、導手を定義することができる^[10]。

アルキメデス的な体

大域的導手のためには、自明な拡大 R/R の導手が 0 であると定義し、拡大 C/R の導手が 1 であると定義する。^[11]

大域的導手

代数体

数体のアーベル拡大 L/K の導手は、アルティン写像を使い局所の場合と同様に定義できる。特に θ : I^m → Gal(L/K) を大域的アルティン写像(global Artin map)とする。ここでは、モジュラス（英語版）(modulus) m は L/K の定義モジュラス（英語版）(defining modulus)である。θ が法 ${\mathfrak {m}}$ の射類群（英語版）(ray class group) を経由するときに、アルティン相互法則(Artin reciprocity)が m で成り立つという。L/K の導手を ${\mathfrak {f}}(L/K)$ と書き、相互法則の成立するモジュラスのすべての共通部分とする。実際、相互法則は、 ${\mathfrak {f}}(L/K)$ に対し成り立つので、これは最も小さなそのようなモジュラスである^[12]^[13]^[14]

例

基礎体を有理数体とすると、クロネッカー・ウェーバーの定理は、代数体 K が Q のアーベル拡大であることと、ある円分体 $\mathbf {Q} (\zeta _{n})$ の部分体であることが同値であることを言っている^[15]。従って、K の導手はそのようなものの中で最も小さな n である。
d を平方因子のない整数として， L/K を $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbf {Q}$ とすると、^[16]

{\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases}\left|\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}\right|&{\text{for }}d>0\\\infty \left|\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}\right|&{\text{for }}d<0\end{cases}}

が成り立つ．ここで

\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}

は

\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbf {Q}

の判別式（英語版）(discriminant)である。

局所導手や分岐との関係

大域導手は局所導手の積である。^[17]

\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}(L_{\mathfrak {p}}/K_{\mathfrak {p}})}.

結局、有限素点が L/K で分岐していることと、それが ${\mathfrak {f}}(L/K)$ を割ることは同値である。^[18] 無限素点 v は導手の中にあらわれることと、v が実素点で、L で複素素点となることとが同値である。

脚注

^ Serre 1967, §4.2
^ As in Neukirch 1999, definition V.1.6
^ Neukirch 1999, proposition V.1.7
^ Milne 2008, I.1.9
^ Serre 1967, §4.2, proposition 1
^ Artin & Tate 2009, corollary to theorem XI.14, p. 100
^ Serre 1967, §4.2にあるように、
^ Serre 1967, §2.5, proposition 4
^ Milne 2008, theorem III.3.5
^ As in Artin & Tate 2009, §XI.4. This is the situation in which the formalism of local class field theory works.
^ Cohen 2000, definition 3.4.1
^ Milne 2008, remark V.3.8
^ Janusz 1973, pp. 158, 168–169
^ 無限素点を導手の定義から外している著者もいる。Neukirch 1999, §VI.6
^ Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 49 (Second ed.). pp. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002
^ Milne 2008, example V.3.11
^ 有限部分はNeukirch 1999, proposition VI.6.5、無限部分はCohen 2000, definition 3.4.1を参照
^ Neukirch 1999, corollary VI.6.6

参考文献

Artin, Emil; Tate, John (2009) [1967], Class field theory, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR2467155
Cohen, Henri (2000), Advanced topics in computational number theory, Graduate Texts in Mathematics, 193, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98727-9
Janusz, Gerald (1973), Algebraic Number Fields, Pure and Applied Mathematics, 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4, Zbl 0307.12001
Milne, James (2008), Class field theory (v4.0 ed.) 2010年2月22日閲覧。
Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, Zbl 0956.11021, MR1697859
Serre, Jean-Pierre (1967), “Local class field theory”, in Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht, Algebraic Number Theory, Proceedings of an instructional conference at the University of Sussex, Brighton, 1965, London: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, MR0220701

[1] Serre 1967, §4.2

[2] As in Neukirch 1999, definition V.1.6

[3] Neukirch 1999, proposition V.1.7

[4] Milne 2008, I.1.9

[5] Serre 1967, §4.2, proposition 1

[6] Artin & Tate 2009, corollary to theorem XI.14, p. 100

[7] Serre 1967, §4.2にあるように、

[8] Serre 1967, §2.5, proposition 4

[9] Milne 2008, theorem III.3.5

[10] As in Artin & Tate 2009, §XI.4. This is the situation in which the formalism of local class field theory works.

[11] Cohen 2000, definition 3.4.1

[12] Milne 2008, remark V.3.8

[13] Janusz 1973, pp. 158, 168–169

[14] 無限素点を導手の定義から外している著者もいる。Neukirch 1999, §VI.6

[15] Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 49 (Second ed.). pp. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002

[16] Milne 2008, example V.3.11

[17] 有限部分はNeukirch 1999, proposition VI.6.5、無限部分はCohen 2000, definition 3.4.1を参照

[18] Neukirch 1999, corollary VI.6.6

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