対数積分

数学において、対数積分（たいすうせきぶん、英: logarithmic integral function） $li(x)$ とは、全ての正の実数 $x \neq 1$ において次の自然対数 $ln$ を含む定積分によって定義される特殊関数である。

\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}

ただし関数 $1/ln t$ は $t = 1$ において特異点を持つため、上記における $x > 1$ の積分は、次のようにコーシーの主値として解釈される。

\operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }\!{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}\right)

性質

$x \to \infty$ におけるこの関数の発展挙動は、

\operatorname {li} (x)=\Theta \left({x \over \ln x}\right)

ここで $\Theta$ はランダウの記号の一種である。ランダウの記号 § その他の漸近記法参照。

対数積分は素数の密度を推定するために使われることが多く、素数定理などで次の式として登場する。

\operatorname {\pi } (x)\sim \operatorname {li} (x)\sim \operatorname {Li} (x)

ここで $π(x)$ は $x$ 以下の素数の個数を示す素数計数関数である。 $Li(x)$ は次の式で定義される補正対数積分関数であり、オイラーの対数積分とも呼ばれる。

\operatorname {Li} (x)=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2)

あるいは

\operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}

である。（こちらの関数を $li(x)$ と定めることもあるので記号の定義に注意が必要である。） $Li(x)$ は積分領域の特異点を回避するという優位点があり、また $li(x)$ よりも $π(x)$ を非常に良く近似する。

$\operatorname {Li} (x)$ より良く $\pi (x)$ を近似するものとして

$\operatorname {Li} (x)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} ({\sqrt {x}})-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} ({\sqrt[{3}]{x}})-{\frac {1}{5}}\operatorname {Li} ({\sqrt[{5}]{x}})+{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} ({\sqrt[{6}]{x}})-{\frac {1}{7}}\operatorname {Li} ({\sqrt[{7}]{x}})+...)$