数学、特に集合論やモデル理論において定常集合(ていじょうしゅうごう、英: stationary set)という言葉には少なくとも三つの異なる意味がある。:
古典的な意味付け[編集]
を非可算な共終数を持つ基数とするとき、部分集合
が
の
いかなるclub集合とも交わるならば、
を
内の定常集合という。
定常でない集合は非定常集合という。
が定常で
がclubなら、その共通部分
はまた定常である。
それは、
をclub集合とすると
はclub(二つのclub集合の共通部分はclub)であり、
は空でない集合となる。
ゆえに、
は定常である。
非可算な共終数に制限したのは無意味なものを避けるためである。
の共終数が可算であったとして、
が
内で定常であるのは
が
内で有界であることと同値である。
特に、
の共終数が
であるなら任意の二つの
の定常集合の共通部分は定常である。
これは
の共終数が非可算なときは起こらない。
実際、
を正則基数で
をその中の定常集合とすると、
は
個の互いに交わりのない定常集合に分割できる。この結果はロバート・ソロヴェイ(英語版)によるもので、
が後続型基数のとき、
このことはスタニスワフ・ウラムによって、
いわゆるウラム行列(Ulam matrix)と呼ばれるものを使って容易に示された。
の部分集合にも定常集合の概念は定義される。
ここで、
は
のことである。
が定常であるとは、前者と同様にSが全てのclub集合と交わることをいう。
の部分集合がclubであるとは、
の下で非有界かつ、
以下の長さの鎖の合併の下で閉じていることをいう。
この二つの定常集合の概念は一般には異なるが、
とすると
が定常であることと、
が
の中で定常であることは一致する。
フォドアの補題はこの文脈でも同様に流用できる。
一般化された意味付け[編集]
三つめの意味は、モデル理論的な概念で、一般化された定常性として参照される。
この概念はM. Magidor(英語版), M. Foreman(英語版), サハロン・シェラハらによるものとされ、ヒュー・ウッディンによって顕著に使用された。
Xを空でない集合とする。
がclubであるとは、
関数
で
を満たすものが存在することを言う。
ここで
は
の有限部分集合全体による集合のことである。
が
で定常であるとは、Sが
の全てのclub集合と交わることを言う。
モデル理論との関連を見る。
を対象領域を
とする可算な言語上のストラクチャー、
が
へのスコーレム関数であるとすると、定常集合
は
の初等部分構造をもつ。
実際、
が定常であることは、任意のこのようなストラクチャー
に対して、
の初等部分構造が
に属することと同値である。
関連項目[編集]
参考文献[編集]
Matthew Foreman, Stationary sets, Chang's Conjecture and partition theory, in Set Theory (The Hajnal Conference) DIMACS
Ser. Discrete Math. Theoret. Comp. Sci., 58, Amer. Math. Soc. , Providence, RI. 2002 pp. 73–94
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外部リンク[編集]