同変K理論

数学において、同変代数的K理論（どうへんだいすうてきKりろん、英: equivariant algebraic K-theory）は、ダニエル・キレンのQ-構成を通して、線型代数群 G の作用を持つ代数的スキーム X 上の同変連接層の圏 $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ に付随する代数的K-理論である。同変代数的 K-理論は、定義により、

$K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X))$

である。特に、$K_{0}^{G}(C)$ は、$\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ のグロタンディーク群である。この理論は、1980年代にR. W. トーマソン (R. W. Thomason) により開発された。特に、彼は局所化定理のような基本的の同変類似を証明した。

同じことであるが、$K_{i}^{G}(X)$ は商スタック $[X/G]$ 上の連接層の圏の $K_{i}$ として定義される（よって、同変 K-理論は、スタックのK-理論の特別な場合である）。

レフシェッツ不動点定理は、同変（代数的）K-理論の設定でも成立する。

基本定理

X を同変代数的スキームとする。

局所化定理 ― 同変代数的スキームの閉埋め込み $Z\hookrightarrow X$ を開埋め込み $Z-U\hookrightarrow X$ が与えられると、次の群の長完全系列が存在する。

$\dots \to K_{i}^{G}(Z)\to K_{i}^{G}(X)\to K_{i}^{G}(U)\to K_{i-1}^{G}(Z)\to \dots$

参考文献

• Chris, N.; Ginzburg, V. (1997-05). Representation Theory and Complex Geometry (2nd Revised ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0817637927 .
• Baum, P.; Fulton, W.; Quart, G. (1979). “Lefschetz Riemann Roch for singular varieties”. Acta. Math 143 (1): 193-211. doi:10.1007/BF02392092. 
• Thomason, R.W. (1987). Algebraic K-theory of group scheme actions. In Browder, W.. “Algebraic topology and algebraic K-theory”. Ann. Math. Stud. (Princeton University Press) 113: 539 563. 
• Thomason, R.W. (1986). “Lefschetz-Riemann-Roch theorem and coherent trace formula”. Invent. Math. 85: 515-543. 
• Thomason, R.W.; Trobaugh, T. (1990). Higher algebraic K-theory of schemes and of derived categories. In Cartier, P.; Illusie, L.; Katz, N.M. et al.. “The Grothendieck Festschrift, vol. III.”. Prog. Math. (Boston Basel Berlin: Birkhfiuser) 88: 247 435. 
• Thomason, R.W. (1992). “Une formule de Lefschetz en K-théorie équivariante algébrique”. Duke Math. J. 68: 447-462. 

関連文献

• Edidin, Dan (2012-11), Riemann–Roch for Deligne–Mumford stacks, arXiv:1205.4742