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Bilinear surface
双1次曲面(そういちじきょくめん)とは、4つの制御点から作成される曲面である。CAD/CGでは形状の定義,FEMなどのシュミューレーションでは値の積分や補間などに使用される。
曲面
は,
,
の2つのパラメータで定義される。曲面
上の点は,以下の式で表現される。
![{\displaystyle S(u,v)=(1-u)(1-v)P_{0}+u(1-v)P_{1}+(1-u)vP_{3}+uvP_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65bd447f2c27d3e98c626e3e210797298cc2ba7)
パラメータ
,
の範囲は,以下の通り。定義した4点の面内の任意の場所は,このパラメータ定義域内で表現できる。
![{\displaystyle 0\leqq u\leqq 1,0\leqq v\leqq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3997ad4f5420ee5177aea00f9cb139828a7abeb)
方向および
方向の偏微分は,以下の通り。
![{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial u}}=(v-1)P_{0}+(1-v)P_{1}+(-v)P_{2}+(v)P_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76de93c85156bc638aa79deb1b12c024f5def30)
![{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial v}}=(u-1)P_{0}+(-u)P_{1}+(1-u)P_{2}+(u)P_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b4bb6972413044a7f1355ec210aa49483f68de)
Projecting point on a surface
任意の点
を双1次曲面上に射影するには,任意点
の曲面上の距離が最小になる点を選択する。一般に次式を2変数のニュートン法を使用して解き,双1次曲面上のu,vの値を得る。
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial u}}={\frac {\partial S}{\partial u}}\cdot {(S(u,v)-P)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75839da0dd32d752d59279b43c0b1c2d714d1ad7)
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial v}}={\frac {\partial S}{\partial v}}\cdot {(S(u,v)-P)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a5530aeef449d5b8e1a50d741109b798300dc5)
FEMなどのシュミューレーションでは,CADやCGとパラメータの定義域が異なることが多いが,一般式1と同じ結果が得られる。
![{\displaystyle S(u,v)=N_{0}P_{0}+N_{1}P_{1}+N_{2}P_{2}+N_{3}P_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69551b1b7a917bf74b785471c41c2ace3839a0da)
![{\displaystyle N_{0}={1 \over 4}(1-u)(1-v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e5fb5cb18c247d8ea2f8461bb1a4e39cef9879)
![{\displaystyle N_{1}={1 \over 4}(1+u)(1-v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb968003ccbeb1c83cbe8265f68d4d6460b2ad98)
![{\displaystyle N_{2}={1 \over 4}(1+u)(1+v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244fda659a7317f2c3e17859d2704fd3bcb9ea9f)
![{\displaystyle N_{3}={1 \over 4}(1-u)(1+v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1af97a71b44a5d56961618ef7519fc17e548c6)
パラメータ
,
の範囲は,以下の通り。
![{\displaystyle -1\leqq u\leqq 1,-1\leqq v\leqq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc526f25ff0110e5590e21355c0c8267e436e3e)
方向および
方向の偏微分は,以下の通り。
![{\displaystyle {\frac {\partial N_{0}}{\partial u}}=-{1 \over 4}(1-v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea500a3786bcba566eaa762cdc0d5c9ddbe9cd6)
![{\displaystyle {\frac {\partial N_{1}}{\partial u}}={1 \over 4}(1-v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ef39d302a32b3f7f8b0dcdca7676086da10fb3)
![{\displaystyle {\frac {\partial N_{2}}{\partial u}}={1 \over 4}(1+v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed80f63627e198a269844beca71af0675672fe1)
![{\displaystyle {\frac {\partial N_{3}}{\partial u}}=-{1 \over 4}(1+v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39bdd987985209b261e879c4dada077dffc183b)
![{\displaystyle {\frac {\partial N_{0}}{\partial v}}=-{1 \over 4}(1-u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dfe4e5f7e5d9b9a477420371bf38b16001e2e0)
![{\displaystyle {\frac {\partial N_{1}}{\partial v}}=-{1 \over 4}(1+u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8161e6b1856f39bbf2aa560a2bf106711a835f9d)
![{\displaystyle {\frac {\partial N_{2}}{\partial v}}={1 \over 4}(1+u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c806a94f75b7f1b0ac525cf027facb9268c7b85)
![{\displaystyle {\frac {\partial N_{3}}{\partial v}}={1 \over 4}(1-u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b09cda848bfa3bdd62ffaffb94199f8ee824a37)