数学において二年生の夢(にねんせいのゆめ、英: sophomore's dream)とは、1697年に数学者ヨハン・ベルヌーイが発見した以下の恒等式(特に1つ目)を指すときの名称として用いられる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,\mathrm {d} x&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(\scriptstyle {=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots )}\\\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(\scriptstyle {=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots })\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fdc16edc7533fc86b422444897d5c6a4f49530)
"二年生の夢"という名称は、誤った等式として共に有名な"一年生の夢"とは対照的に付けられたものである。共に簡潔な等式であるという共通点を持つが、一年生の夢は常に成り立たない[1]のに対し、二年生の夢は常に成り立つ。
2つ目の等式を導出する。1つ目の等式も2つ目と同様に導出が可能である。
等式の左辺の被積分関数
を変形する。
![{\displaystyle x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebcc6382975fd51b117667efbce79a9b72e6123)
よって、左辺は以下のように表せる。
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d68ef7178841e9447f6868f155a5e835b30c5b)
冪級数の一様収束性より、左辺の積分と総和を以下のように交換できる。
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a4a9119dd938143f847ea13e060f417695c4d8)
ここで、
について、
とおく(置換積分)と、次の式が得られる。
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,\mathrm {d} x=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,\mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6e471870acd838f099360f485784e78139b7f7)
第二種オイラー積分より、
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,\mathrm {d} u=\Gamma (n+1)=n!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800a2fbaa5d68f5045bbe92abb0f3f3ecd3812d7)
なので、
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,\mathrm {d} x=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\Gamma (n+1)=(-1)^{n}n!(n+1)^{-(n+1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6a0c1e8afbbb7aef7771301322f44584025433)
である。したがって左辺は、
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c41786ca86f25e6dc5dd3774b11d263474db965)
となる。総和のn=0をn=1となるよう変形すれば、左辺は右辺に一致し、よって式は導出される。
- ^ ただし、素数pを法とした場合
![{\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}{\pmod {p}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d6c7e9d51547a8c2b94102b792719ce846e642)
は等式が成り立つ。