利用者:Vicultov/テストページ

$\mathbb {R} ^{n}$上のラプラシアン
$\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)^{2}$

Riemann多様体上のラプラシアン
$d\circ d^{\ast }+d^{\ast }\circ d$

接触Riemann多様体上のKohn-Rossiラプラシアン
${\bar {\partial _{b}}}\circ {\bar {\partial _{b}^{\ast }}}+{\bar {\partial _{b}^{\ast }}}\circ {\bar {\partial _{b}}}$

Heisenberg群上のKohn-Rossiラプラシアン
$\xi _{0}+\xi _{1}\xi _{\bar {1}}+\cdots +\xi _{n}\xi _{\bar {n}}$

熱方程式の初期値問題
$\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\triangle \right)\phi =0,\qquad \lim _{t\rightarrow 0}\phi (t)=\varphi .$

漸近展開
$t\rightarrow 0$

$e^{-t\triangle }$

${\rm {tr}}\,e^{-t\triangle }\,\sim \,t^{-(n+1)}\color {red}a_{0}\color {black}+t^{-(n+1)+1}\color {red}a_{1}\color {black}+t^{-(n+1)+2}\color {red}a_{2}\color {black}+\cdots$

$\color {red}a_{i}\color {black}$

$\triangle$
断熱展開
$e^{-t\triangle _{(\varepsilon )}}=\varepsilon ^{0/2}p_{0/2}+\varepsilon ^{1/2}p_{1/2}+\varepsilon ^{2/2}p_{2/2}+\cdots$