利用者:Tkcom/超実数

超実数(ちょうじっすう、hyperreal number)の体系は無限大量や無限小量を扱うためにある。超実数や超準実数(nonstandard reals)、*Rは実数Rの拡張であり、次のような形のいかなる数より大きい数を含むものである:

$1+1+\cdots +1.\,$

そのような数は無限大であり、その逆数は無限小である。"hyper-real"という単語は Edwin Hewittにより1948年に紹介された。

超実数はトランスファープリンシプル(en)を満たす。それの厳格なヴァージョンはライプニッツの連続性の法則(en)である。トランスファープリンシプルは、Rにおける一階述語論理の真なる主張は*Rにおいても真であるという事を主張する。例えば、加法の可換則は実数で行われるのと全く同様に成り立つ。よって、Rは実閉体(Real closed field)であるから、*Rも実閉体である。また、いかなる整数nについても$\sin {\pi n}=0$が成立することから、いかなる超整数(hyperinteger)Hにおいても$\sin {\pi H}=0$が成立する。超冪のトランスファープリンシプルは1955年のロスの定理(en)の帰結である。

無限小に関わる議論の健全性に対する関心は、アルキメデスが無限小に関する証明を(Method of exhaustion)を始めとするテクニックを用いた証明を置き換えたような古代ギリシャ時代の数学にまで遡る。1960年代にロビンソンは、実数が論理的に無矛盾であるならば、かつその時に限り、超実数は論理的に無矛盾(logically consistent)であることを証明した。ロビンソンが描写した論理規則によると、無限小が関わるいかなる証明は不健全であり、巧みに操られたものではないかという懸念がでてきた。

超実数の応用、特に解析学における諸問題へのトランスファープリンシプルの適用は超準解析と呼ばれる。一つの例は、微分や積分のような解析学の基礎概念を複数の量化子を用いる論理的複雑さを回避して直接的に定義することである。つまり、f(x)の導関数は、

$f'(x)={\rm {st}}\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$

になる。 ただし、$\Delta x$は無限小超実数で、st(･)とは有限超実数から実数への関数で、“有限超実数にそれに無限に近いただ一つの実数への関数”という標準部分関数(en)である。積分も同様に、適切な無限和の標準部分によって定義される。

トランスファープリンシプル

超実数の体系のアイデアは、実数の集合Rを拡張し、代数の基礎的ないかなる公理を変更することなく無限小や無限大を含む*Rを構成するというものである。“すべての数xに対し…”という形のいかなる主張は、実数にとって真であれば超実数にとっても真である。例えば、“いかなる数についても、x+0=0”という公理にもあてはまる。同じ事が、いくつかの数の上での量化に対しても成立する：“いかなる数x,yに対しても、xy=yx”。 このように、実数から超実数に主張を引き継ぐことができることを、トランスファープリンシプル(Transfer principle)という。ただし、“数Sのいかなる集合に対しても…”という形の主張は引き継ぐことができない。実数と超実数とが区別される唯一の性質は、典型的には集合とは関係なく構成できる、関数や関係のような集合やその他の高位の構造や上の量化に依るものである。 実数の集合や関数、関係は、全く同じ一階の性質をもつその自然な超実数への拡張を持つ。量化の制限に従うこの種類の論理的文は、一階述語論理における主張について述べられる。

しかしながら、トランスファープリンシプルは、Rと*Rとが全く同一の振る舞いを持つということを意味しない。例えば、*Rにおいて、次のような性質をもつ元ωが存在する：

$1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .$

しかし、Rにはそのような元は存在しない。これは、ωが存在しないことは一階論理の主張では表現することができないから、起こりうるのである。

関連項目

• 超準解析(Non-standard analysisまたはNon-standard calculus)
• 超現実数(Surreal number)

外部リンク

(en)

hyperreal number

17:48, 22 February 2013の版