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超実数(ちょうじっすう、hyperreal number)の体系は無限大量や無限小量を扱うためにある。超実数や超準実数(nonstandard reals)、*Rは実数Rの拡張であり、次のような形のいかなる数より大きい数を含むものである:

1+1+\cdots +1.\,

そのような数は無限大であり、その逆数は無限小である。"hyper-real"という単語は Edwin Hewittにより1948年に紹介された^[1]。

超実数はトランスファープリンシプル(en)を満たす。それの厳格なヴァージョンはライプニッツの連続性の法則(en)である。トランスファープリンシプルは、Rにおける一階述語論理の真なる主張は*Rにおいても真であるという事を主張する。例えば、加法の可換則は実数で行われるのと全く同様に成り立つ。よって、Rは実閉体(Real closed field)であるから、*Rも実閉体である。また、いかなる整数nについても $\sin {\pi n}=0$ が成立することから、いかなる超整数(hyperinteger)Hにおいても $\sin {\pi H}=0$ が成立する。超冪のトランスファープリンシプルは1955年のロスの定理(en)の帰結である。

無限小に関わる議論の健全性に対する関心は、アルキメデスが無限小に関する証明を(Method of exhaustion)を始めとするテクニックを用いた証明を置き換えたような古代ギリシャ時代の数学にまで遡る。1960年代にロビンソンは、実数が論理的に無矛盾であるならば、かつその時に限り、超実数は論理的に無矛盾(logically consistent)であることを証明した。ロビンソンが描写した論理規則によると、無限小が関わるいかなる証明は不健全であり、巧みに操られたものではないかという懸念がでてきた。

超実数の応用、特に解析学における諸問題へのトランスファープリンシプルの適用は超準解析と呼ばれる。一つの例は、微分や積分のような解析学の基礎概念を複数の量化子を用いる論理的複雑さを回避して直接的に定義することである。つまり、f(x)の導関数は、

f'(x)={\rm {st}}\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)

になる。ただし、 $\Delta x$ は無限小超実数で、st(･)とは有限超実数から実数への関数で、“有限超実数にそれに無限に近いただ一つの実数への関数”という標準部分関数(en)である。積分も同様に、適切な無限和の標準部分によって定義される。

トランスファープリンシプル

超実数の体系のアイデアは、実数の集合Rを拡張し、代数の基礎的ないかなる公理を変更することなく無限小や無限大を含む*Rを構成するというものである。“すべての数xに対し…”という形のいかなる主張は、実数にとって真であれば超実数にとっても真である。例えば、“いかなる数についても、x+0=0”という公理にもあてはまる。同じ事が、いくつかの数の上での量化に対しても成立する：“いかなる数x,yに対しても、xy=yx”。このように、実数から超実数に主張を引き継ぐことができることを、トランスファープリンシプル(Transfer principle)という。ただし、“数Sのいかなる集合に対しても…”という形の主張は引き継ぐことができない。実数と超実数とが区別される唯一の性質は、典型的には集合とは関係なく構成できる、関数や関係のような集合やその他の高位の構造や上の量化に依るものである。実数の集合や関数、関係は、全く同じ一階の性質をもつその自然な超実数への拡張を持つ。量化の制限に従うこの種類の論理的文は、一階述語論理における主張について述べられる。

しかしながら、トランスファープリンシプルは、Rと*Rとが全く同一の振る舞いを持つということを意味しない。例えば、*Rにおいて、次のような性質をもつ元ωが存在する：

1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .

しかし、Rにはそのような元は存在しない。これは、ωが存在しないことは一階論理の主張では表現することができないから、起こりうるのである。

解析での使用

代数関数における微分

実数でない量の非正式な概念は、2つの文脈にそって歴史的に微積分学において現れる。一つはdxのような無限小として、もう一つは広義積分の極限において使われる∞という記号として現れる。

トランスファープリンシプルの例として、 “ゼロでないいかなる数について、2x≠x”という主張は実数にとって真であり、超実数についても真であるためには、この形式ではトランスファープリンシプルが要求される。これは、超実数の体系においてすべての無限大量は∞のような遺伝的な記号(generic symbol)を使うことが不可能である、ということを示している。無限大量は“大きさが”他の無限大量と異なっているし、無限小量も他の無限小量と異なる。

同様にして、ゼロで割るという主張に対してトランスファープリンシプルを適用すれば、1/0=∞ということを無思慮に使うのは正当ではないことがわかる。それに対応する計算の厳密なものは、εが無限小であるとき、1/εは∞であるということである。

いかなる有限超実数xに対して、その標準部分st(x)は、無限小の違いしかない唯一の実数と定義される。関数y(x)の導関数は ${\frac {dy}{dx}}$ ではなく、 ${\frac {dy}{dx}}$ の標準部分として定義される。

例えば、f(x)=x²の導関数 f'(x)を求めるには、dxを無限小超実数として

$f'(x)\,$	$=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+dx^{2}-x^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+dx^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)$
	$=2x\,$

導関数の定義において標準部分を使用することは、無限小量の平方を無視するという伝統的な慣習の厳密な代替である。上記の式の三行目以降、ニュートンから19世紀にわたっての典型的な方法は単に dx² の項を無視するというものであった。ゼロでない実数の平方はゼロでないという主張にトランスファープリンシプルを適用することで、超実数の体系では、dx がゼロでないことがわかるから、dx²≠0である。しかし、dx² という量は、dxに比べ極微に(infinitesimally)小さい。つまり、超実数の体系は無限小量のヒエラルキーを含むのである。

性質

超実数*Rは部分体としての実数Rを含む順序体を形成する。

実数とは違い超実数は標準的な距離空間を形成しない。がしかし、その順序をもっていることにより順序位相は保つことができる。英語で明確にする目的でtheという冠詞を用いて、the hyperreal numbersとすることは、言及される大抵の文脈において一意な順序体が存在しないという点で、幾ばくか誤解を招くことになる。

しかし、Vladimir KanoveiとShelah^[2]の2003年の論文において、definable, countably saturated elementary extension of reals というものを示した。これは、the hyperreal numberというタイトルは(一意的な順序体であるという意味で)ふさわしいものであった。さらに、すべての実数列の空間からの超冪による構成により得られた体は、連続体仮説を仮定すれば、同型を除いて一意に定まる。

超実数体であることの状態は実数Rを真に含む実閉体(Real closed field)のそれより、強いものである。Dales や Woodin.^[3]の意味での、superreal fieldの状態もまた、それより強い。

発展

超実数は、公理的にまたは構成志向的な方法のいずれかによって発展されうる。公理的アプローチの本質は、次を主張することである：

少なくともひとつの無限小数の存在
トランスファープリンシプルの正当性。

以下のサブセクションでは、さらに構成的なアプローチの概要を与える。超フィルターと呼ばれる集合論的対象が与えられれば、超実数を構成することができる。しかし、超フィルターそれ自体は明晰に構成されない。(Kanovei と Shelah^[2] は、恐ろしく複雑な方法という代償をはらって、明晰な構成法を与えた。)

ライプニッツからロビンソンへ

超冪による構成

実数列から超実数体が構成できることを見てゆこう^[4]。次のようにして、超実数の加法と乗法を定義する：

(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )

(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )*(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}*b_{0},a_{1}*b_{1},a_{2}*b_{2},\ldots )

これにより、このような数列の集合は可換環になり、それは実際に、real algebraでAとする。実数rと数列(r,r,r,…)を同一視することによって、RのAへの自然な埋め込みが存在する。この同一視は実数の代数的演算を保存する。直感的な動機は、例えば、ゼロに収束するような数列を用いて無限小超実数を表したいということである。そのような数列の逆元が無限大超実数を表すことになるだろう。以下で見るように、幾ばくかの恣意性が避けられないものの、self-consistentであり、well definedでなければならない点において数列の比較の規則を定義する必要性から困難が生ずる。例えば、はじめのn項のみが違い、残りはすべて同一な2つの数列は等しい。つまり、それらの数列は明らかに同一の超実数であると考えられるべきなのである。同様に、 $\epsilon$ はある無限小超実数として $7+\epsilon$ を考えるように、永遠にランダムに振動するような多くの数列についても、これを解釈する方法を見つけなければならない。

実数列の比較を定義するのはデリケートな問題である。例えば、加法や乗法と同じように次のように定義したとしても、すぐに困難にぶつかる。

(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\leq (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\iff a_{0}\leq b_{0}\wedge a_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq b_{2}\ldots

それは、前者の数列のいくつかの項が、後者の数列の対応する項より大きく、それ以外のの項が小さいということがありうるからだ。従って、この方法によって定義される関係は、半順序である。これを回避するには、位置の問題を明示しなければならない。数列には無限の項(添字)が存在するから、有限個の項についてそれを問題にしたくない。問題となる添字集合の一貫した選択は、自然数上の任意の自由超フィルター U によって与えられる。自由超フィルターとは有限集合を含まない超フィルターのことである (それの良い点は、ツォルンの補題よりそのような多くの U が存在することである。悪い点は、それが明晰に構成されえないということである。)。 “問題”となる添字集合を一つ選び出すような、U を考えよう。つまり、

(a_{0},a_{1},a_{2},...)\leq (b_{0},b_{1},b_{2},...)\Leftrightarrow \{n\mid a_{n}\leq b_{n}\}\in U

と定義しよう。

これは、total preoderであり、2つの数列a､bに対し、 a ≤ b かつ b ≤ a であるとき、a と b を区別しないことを認めればこれは全順序になる。この同一視により、超実数順序体*Rが構成される。代数的観点からみると、

U によって対応する可換環 A の極大イデアル I (すなわち、Uの元の幾つかが消えた数列の集合)を定義し、A/I を *R と定義できる。極大イデアルによる可換環の商として、*Rは体である。それを自由超フィルター U を使って A/Uと書くこともあり、それらは等しい。その I の極大性から、与えられた数列 a からその非ゼロ元の逆数をとって、ゼロ元はそのままにしてできた数列 b をつくることができる可能性が従う。それらの積 abは、この場合は数1と同定され、1を含むいかなるイデアルは A でなければならない。その結果の体において、a と b は互いに逆元である。

体 A/U は R の超冪(ultrapower)である。この体は R を含むから、最低でも連続体濃度以上の濃度を持つ。 A は

(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}^{2}}=2^{\aleph _{0}},\,

という濃度以下でもあるから、A/U の濃度は連続体濃度に等しい。

ここで一つの疑問が出てくる。それはU とは違う自由超フィルター V を選んだら、その商 A/V は A/U に同型かどうかということだ。この疑問は、連続体仮説と同等であるということがわかっている。ZFCと連続体仮説を仮定したうえで、これらの体は順序同型で一意的であるということが証明できる。 ZFCと連続体仮説の否定を仮定したうえで、それぞれ可算に添字付けられた実数の超冪で、順序非同型な体のペアが存在することを証明できる。

構成の詳細な説明は超積(Ultraproduct)を参照せよ。

超冪による構成の直感的アプローチ

以下は、超実数を理解するための直観的な方法である。ここでとられる方法はGoldblattの著書^[5] に書かれているものに非常に近い。

ゼロに収束する数列を無限に小さいと言われることを思い出そう。

無限小超実数や無限大超実数の性質

超実数体

脚注

^ Hewitt (1948), p. 74, as reported in Keisler (1994)
^ ^a ^b Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), “A definable nonstandard model of the reals”, Journal of Symbolic Logic 69: 159–164, doi:10.2178/jsl/1080938834, http://shelah.logic.at/files/825.pdf
^ Woodin, W. H.; Dales, H. G. (1996), Super-real fields: totally ordered fields with additional structure, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853991-9
^ Loeb, Peter A. (2000), “An introduction to nonstandard analysis”, Nonstandard analysis for the working mathematician, Math. Appl., 510, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 1–95
^ Goldblatt, Robert (1998), Lectures on the hyperreals: an introduction to nonstandard analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98464-3

参考文献

Jerome Keisler Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach

これはキースラーの公式ホームページで無償で公開されている。特に第一章に超実数の性質が、エピローグにその構成が、それぞれ平易に書かれている。

外部リンク

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(en)

hyperreal number

17:48, 22 February 2013の版

[1] Hewitt (1948), p. 74, as reported in Keisler (1994)

[kanovei2003-2] Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), “A definable nonstandard model of the reals”, Journal of Symbolic Logic 69: 159–164, doi:10.2178/jsl/1080938834, http://shelah.logic.at/files/825.pdf

[3] Woodin, W. H.; Dales, H. G. (1996), Super-real fields: totally ordered fields with additional structure, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853991-9

[4] Loeb, Peter A. (2000), “An introduction to nonstandard analysis”, Nonstandard analysis for the working mathematician, Math. Appl., 510, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 1–95

[5] Goldblatt, Robert (1998), Lectures on the hyperreals: an introduction to nonstandard analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98464-3

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