利用者:Tkcom/加筆･作成したい数学の項目/超フィルター

数学の集合論において、集合X上の超フィルター(ちょう-、ultrafilter)とは、フィルターXの部分集合族のことで、(フィルターとして)それ以上大きくすることができないものである。 超フィルターは有限加法的測度であるとかんがえられる。そして、Xの任意の部分集合は、“ほぼすべて”(測度1をもつ)であるか、“ほぼなにもない”(測度0をもつ)のかのいずれかである。 もしAがXの部分集合であるならば、Xまたは $X\backslash A$ は超フィルターの元になる(ここで、 $X\backslash A$ は、Xに対するAの補集合である)。 この概念はブール代数や、さらには一般の半順序に一般化されうる。さらにそれは、集合論、モデル理論、トポロジーににおいて多くの応用がある。

正式な定義

与えられた集合Xに対し、X上の超フィルターとは、以下の条件を満たす、Xの部分集合からなる集合Uのことである。

1. 空集合はUの元ではない。
2. A,BはXの部分集合、AはBの部分集合、AはUの元ならば、BもまたUの元である。
3. A,BがUの元であるとき、AとBの和集合もまたUの元である。
4. AをX部分集合であるならば、Aまたは$X\backslash A$はUの元である。（上記の1と3から、Xと$X\backslash A$は同時にUの元となりえないことに注意せよ。）

特徴づけは次の定理によって与えられる。 以下のいずれかの条件を満たすとき、集合X上のフィルターUが超フィルターである

1. Uより細かいフィルターFが存在しない。つまり、$U\subseteq F\Rightarrow U=F.$
2. $A\cup B\in U$ ならば $A\in U$ または $B\in U$.
3. $\forall A\subseteq X\colon A\in U\vee X\setminus A\in U$.

X上の超フィルターを構成するもう一つの方法は、 AがUの元ならばm(A)=1とし、 AがUの元でないならば、m(A)=0であるような、 Xの冪集合上の関数mを定義することである。 このmはX上の有限加法的測度である。X上の元のどの性質も 真に「ほとんど至るところで(almost ever where)」であるか、「ほとんど至ることで」でないかのどちらかである。 可算加法性が要求される普通の意味での測度を定義しているわけではない ということに注意すべきである。

超フィルターでないフィルターFに対して、 A ∈ Fならばm(A) = 1 であり、$X\backslash A\in F$ならばm(A) = 0 ということが言える。

超フィルターの簡単な例は、与えられたXの元xを含むような部分集合族である単項超フィルターである。有限集合上のいかなる超フィルターは単項である。

完備性

超フィルターUの完備性(completeness)は Uのκ個の元の和集合がUに属さないようなものが存在するような最小の基数κである。 この定義は、超フィルターの完備性は少なくとも $\aleph _{0}$ より大きいことをを自動的に含んでいる。 完備性が$\aleph _{0}$より大きい超フィルター - それはつまり、Uのいかなる可算個の元の和集合がUに属する - は、可算完備(countably complete)またはシグマ-完備($\sigma$-complete)と呼ばれる。

可算完備で非単項な超フィルターは常に、enである

関連項目

• フィルター (数学)
• 超準解析

脚注

en:ultrafilter

23:34, 26 February 2013 の版