利用者:Tkcom/加筆･作成したい数学の項目/デデキント･マクニール完備
数学の順序理論における、半順序集合のデデキント・マクニール完備化(Dedekind–MacNeille completion)とは、与えられた半順序をすべて含むような完備束のことである。これは、切断による完備化(completion by cuts)、通常の完備化(normal completion)とも呼ばれる。
この名前は、マン・マクニール(Holbrook Mann MacNeille)が1937年の論文において最初に定義し構成したこと、及び、この完備化は後にデデキントが有理数から実数の構成に用いたデデキント切断を一般化するものであるということにちなむ。
順序の埋め込みと束の完備化
[編集]半順序集合は、以下の三条件を満たす二項関係 ≤ と集合から構成される。
- 反射律:いかなるxに対しても x ≤ x.
- 推移律: x ≤ y かつ y ≤ z , ならば x ≤ z.
- 反対称律: x ≤ y かつ y ≤ x, ならば x = y.
自然数や実数上の通常の順序は上記の条件を満たす。しかしこういった数の順序とは違って、半順序は一般に(x ≤ y でも y ≤ x でもないような)比較不能な二元を持つ。 半順序の身近な例としては、集合上の包含関係⊆ がある。
半順序集合S の完備化とは、S がL の中に順序埋め込まれた完備束L を意味する。L が完備束であるとは、L のいかなる部分集合も唯一の上限および唯一の下限を持つということである。 これは、実数の上限性質のアナロジーを一般化するものである。