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数学において、集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite、ドイツ人数学者リヒャルト・デデキントにちなんでつけられた）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。それはつまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 Aがデデキント有限であるとは、デデキント無限でないということである。

デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない。選択公理を用いないその他の有限集合や無限集合の定義が存在する。

通常の無限集合の定義との比較

デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう:

集合A が無限であるとは、ある自然数n について{0,1,2,..., n -1}という形の集合である有限順序数とA の間に全単射が存在しないことである。

無限とは、全単射が存在しないという意味で文字通り有限でないという集合である。

19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない。弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性の証明は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。

ZFにおけるデデキント無限

次の4条件は、ZF上同値である。特に、これらの同値性の証明にはACを用いないで証明できることに注意せよ。

• A はデデキント無限である。
• 全射ではないが単射であるようなA からA への関数が存在する。
• 自然数の集合N からA への単射が存在する。
• A は可算無限な部分集合を持つ。

いかなるデデキント無限集合A は以下の条件を満たす。

• 単射ではないが全射の、A からA への関数が存在する。

これは、“A は双対デデキント無限である”と記述される。双対デデキント無限であるならばA がデデキント無限であるということは（ACを除いたZF上で）証明可能でない。

どんな双対デデキント無限集合は次の（同値な）条件を満たす、ということがZF上で証明できる。

• A から可算無限集合への全射が存在する。
• A の冪集合がデデキント無限である。

（このような性質を満足させる集合を、弱デデキント無限(weakly Dedekind infinite)と呼ぶことがある。）

弱デデキント無限であるならば無限であることはZFにおいて証明されいる。

また、整列無限集合はデデキント無限であることもZFにおいて示されている。

歴史

デデキント無限という語は、この定義を初めて明確に示したドイツ人のリヒャルト・デデキントにちなんでつけられた。自然数の定義に依存しない最初の“無限”の定義であったことは明記すべきであろう。

選択公理との関係

無限で整列などのような集合もデデキント無限である。 ACが、いかなる集合は整列されるという主張の整列可能定理と同値であるから、明確に一般のACから、無限集合はデデキント無限集合であるということが導かれる。しかしながら、無限とデデキント無限の同値性はACの十分な強さよりもっと弱いものである。

特に、可算無限な部分集合を持たないような無限集合の存在するようなZFのモデルが存在する。しかし、そのモデルで、無限でデデキント有限である集合の存在が示される。上のことから、そのような集合は、このモデルでは整列不可能である。

もし、可算選択公理CC（AC_ω）を仮定すれば、いかなる無限集合もデデキント無限であることが証明される。

しかしながら、この2つの同値性は、実際CCより真に弱い。CCを仮定せず（ZFの無矛盾性を仮定して）任意の無限集合はデデキント無限集合であることが示されるZFのモデルが存在する。

可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明

デデキント無限集合が無限であることはZFで容易に証明される。 どのような有限集合も定義から、ある順序数n との間に全単射が存在し、帰納的に、有限集合はデデキント有限であることが証明できる。

可算選択公理を用いることによって、その逆が証明できる。つまり、無限集合X はデデキント無限であることを以下のように証明できる。

まず無限集合は可算無限な部分集合を持つことを示す。 可算選択公理より、f をX の冪集合P(X )の選択関数とする。 X の点列a₀ ,a₁ ,a₂ ...を以下のように定義する。

$a_{0}=f(X)$

$a_{n+1}=f(X\backslash \{a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n}\})$

これにより、すべての自然数n について、 a_n は定義され、それらはすべて異なる。 なぜならば、X は無限集合であることにより、$X\backslash \{a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$は空でなく、f は選択関数であったから

$f(X\backslash \{a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n}\})\in X\backslash \{a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$

であるから、$a_{n+1}\in X\backslash \{a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$となるからである。よって、集合{ a_n | n ∈N } はXの可算無限部分集合である。

次に、h をX からX への写像とする。 この写像h は、a_n をa_n+1 に対応させ、それ以外は恒等的に写すようなものとしよう。このとき、h はX から$X\backslash \{a_{0}\}$への全単射である。よって、X はデデキント無限である。

参考文献

• 『選択公理と数学』田中尚夫著 遊星社 1987年　98頁、214頁
• Faith, Carl Clifton. Mathematical surveys and monographs. Volume 65. American Mathematical Society. 2nd ed. AMS Bookstore, 2004. ISBN 0-8218-3672-2
• Moore, Gregory H., Zermelo's Axiom of Choice, Springer-Verlag, 1982 (out-of-print), ISBN 0-387-90670-3, in particular pp. 22-30 and tables 1 and 2 on p. 322-323
• Jech, Thomas J., The Axiom of Choice, Dover Publications, 2008, ISBN 0-486-46624-8
• Lam, Tsit-Yuen. A first course in noncommutative rings. Volume 131 of Graduate texts in mathematics. 2nd ed. Springer, 2001. ISBN 0-387-95183-0
• Herrlich, Horst, Axiom of Choice, Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN print edition 0075–8434, ISSN electronic edition: 1617-9692, in particular Section 4.1.

en:Dedekind-infinite set

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