利用者:SkyBlueDetteiu/sandbox

wikiにおけるフォント

算用数字

$1234567890$

アルファベット

立体

• 大文字

${\text{A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z}}$

• 小文字

${\text{a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z}}$

• 例文

${\text{ The beginning of new journey. Looking for the new land which is not seen yet, this arcana of just not stepping forward one step means}}$

${\text{departure by various backgrounds, such as the spirit of inquiry to a way, and an escape wish, as an infinite possibility.}}$

イタリック体

• 大文字

$ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ$

• 小文字

$abcdefghijklmnopqrstuvwxyz$

• 例

$y=f(x)\Longleftrightarrow x=f^{-1}(y)$

ブラックボード・ボルト体

$\mathbb {ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$

ギリシア文字

• 大文字

$\mathrm {A} \,\mathrm {B} \,\Gamma \,\Delta \,\mathrm {E} \,\mathrm {Z} \,\mathrm {H} \,\Theta \,\mathrm {I} \,\mathrm {K} \,\Lambda \,\mathrm {M} \,\mathrm {N} \,\Xi \,\mathrm {O} \,\Pi \,\mathrm {P} \,\Sigma \,\mathrm {T} \,\Upsilon \,\Phi \,\mathrm {X} \,\Psi \,\Omega \,$

• 小文字

$\alpha \,\beta \,\gamma \,\delta \,\epsilon \,\zeta \,\eta \,\theta \,\iota \,\kappa \,\lambda \,\mu \,\nu \,\xi \,\mathrm {o} \,\pi \,\rho \,\sigma \,\tau \,\upsilon \,\phi \,\chi \,\psi \,\omega \,$

• 例

$v=f\lambda$

数学科に関する項目

数

複素数

　任意の2つの実数$a,b$と虚数単位(imaginary)$i$を使い、$a+bi$と書き表せる数。実部は$a$で、虚部は$b$。 また、$a+bi$と$a-bi$を、互いに共役という。

• 複素数の性質

　$a+bi$において、

$a=0$かつ$b=0$のとき、$a+bi=0$

$a\neq 0$かつ$b=0$のとき、$a+bi$は実数。

$a\neq 0$かつ$b\neq 0$のとき、$a+bi$は虚数。

$a=0$かつ$b\neq 0$のとき、$a+bi$は純虚数。

$a\neq 0$かつ$b\neq 0$のとき、$(a+bi)(a-bi)$は、$a^{2}+b^{2}$になり、実数。

自然数(正の整数)

1を基準とし、順に1ずつ足していった数。数を数えるときに使われる。

• 自然数の公理
  

　　自然数の全体集合を$\mathbb {N}$として、
　　・$\mathbb {N}$に$0$が存在する。
　　・$\mathbb {N}$に$a<0$となる$a$の値は存在しない。
　　・$\mathbb {N}$の任意の数$a$には後者(successor) ${\text{suc}}(a)$ が存在する。$(y={\text{suc}}(x)=x+1)$
　　・$\mathbb {N}$の任意の数$a,b$において、以下のことが成り立つ。

$a=b\Longleftrightarrow {\text{suc}}(a)={\text{suc}}(b)$

$a\neq b\Longleftrightarrow {\text{suc}}(a)\neq {\text{suc}}(b)$

$a<b\Longleftrightarrow {\text{suc}}(a)<{\text{suc}}(b)$

$a>b\Longleftrightarrow {\text{suc}}(a)>{\text{suc}}(b)$

　　・$0$が命題$p$を満たし、$\mathbb {N}$の任意の数$a$が命題$p$を満たせば、$\mathbb {N}$の全ての数は命題$p$を満たす。（数学的帰納法の原理）

• 素数
  

　　1と自身の数のみの約数を持つ数。2,3,5,7,11,13,17,19,･･･

• メルセンヌ数
  

　2の累乗から1を引いた数。全体集合を$M_{n}$として、一般項は、$M_{n}=2^{n}-1\ (n=1,2,3,\cdots )$。
特に、$M_{n}$のうち、素数であるものをメルセンヌ素数という。

• フェルマー数
  

　2の2の累乗乗に1を足した数。全体集合を$F_{n}$として、一般項は、$F_{n}=2^{2^{n}}+1\ (n=0,1,2,\cdots )$。
特に、$F_{n}$のうち、素数であるものをフェルマー素数という。

数列

• 数列

ある一定の規則にしたがって並べた数。 $\{a_{n}\}=\underbrace {a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\cdots ,a_{n}} _{n}$

• 初項

もとの数。主に、$a$、又は$a_{1}$で書き表される。

• 末項

最後の数。主に、$l$で書き表される。

• 項数

数の個数。主に、$n$で書き表される。

• 一般項

数列の規則を示す数。

• 公差

二項間の差。主に、$d$で書き表される。

• 公比

二項間の比。主に、$r$で書き表される。

• 等差数列

数列のうち、隣り合う二項間の差が一定である数。
一般項は初項$a$、項数$n$、交差$d$を使い、$a_{n}=a+(n-1)d$で書き表される。 $(\{a_{n}\}=\underbrace {a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,\cdots ,a+(n-1)d} _{n{\text{times}}})$

計算

• 数の計算

• 結合法則

$(a+b)+c=a+(b+c)$

$(ab)c=a(bc)$

• 交換法則

$a+b=b+a$

$ab=ba$

• 分配法則

$a(b+c)=ab+ac$

関数

$x$に対応し、$y$が決まるとき、$y$は$x$の関数$(y=f(x))$という。このとき、$x$を独立変数、$x$を従属変数という。

一次関数（直線）

• 一般式
  

$y=ax+b\ (a\neq 0)$

• 解

$ax+b=0\ (a\neq 0)\$の解は、

$x={\frac {-b}{a}}\$である。

二次関数（放物線）

• 一般式
  

$y=ax^{2}+bx+c$ $(a\neq 0)$

• 解

$ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)\$の解は、

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\$である。

• 平方完成

$y=ax^{2}+bx+c\ (a\neq 0)\$を平方完成すると、

$=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+c$

$=a\left\{(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+({\frac {b}{2a}})^{2}-({\frac {b}{2a}})^{2}\right\}+c$

$=a\left\{(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right\}+c$

$=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$

$=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+(c-{\frac {b^{2}}{4a}})$になる。

• 判別式

$D=b^{2}-4ac$

$D>0\cdots \$　異なる2つの実数解

$D=0\cdots \$　2重解

$D<0\cdots \$　異なる2つの虚数解

三次関数

• 一般式
  

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\ (a\neq 0)\$

• 解
  

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\ (a\neq 0)\$の解は、

• 立方完成
  

$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\ (a\neq 0)\$を立方完成すると、

$=a(x^{3}+{\frac {b}{a}}x^{2})+cx+d$

$=a\left\{(x^{3}+{\frac {b}{a}}x^{2})+{\frac {b}{a}}x-{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{3a}})^{3}-({\frac {b}{3a}})^{3}\right\}+cx+d$

$=a\left\{(x+{\frac {b}{3a}})^{3}+-{\frac {b}{a}}x-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}\right\}+cx+d$

$=a(x+{\frac {b}{3a}})^{3}+-bx-{\frac {b^{3}}{27a^{2}}}+cx+d$

$=a(x+{\frac {b}{3a}})^{3}+(c-b)x+(d-{\frac {b^{3}}{27a^{2}}})\ (a\neq 0)\$になる。

• 極値判別式
  

$D_{l}=b^{2}-3ac$

$D_{l}\leq 0\cdots$　極大値、極小値を持たない。

$D_{l}>0\cdots$　極大値、極小値を持つ。（この時の極大値、極小値のx座標は、${\frac {-b\mp {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}$になる。）

• 解の判別式
  

$D=18abcd-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-4b^{3}d$

$D>0\cdots \$　異なる3つの実数解

$D=0\cdots \$　重解

$b=c=0\cdots \$　3重解

$bc\neq 0\cdots \$　2重解と1つの解

$D<0\cdots \$　1つの実数解と2つの異なる虚数解

三角関数

• 定義

底辺が$x$、高さが$y$、斜辺が$r$、底辺と斜辺の成す角$\theta$をとして、

$\sin \theta ={\frac {y}{r}}$

$\cos \theta ={\frac {x}{r}}$

$\tan \theta ={\frac {y}{x}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

$\csc \theta ={\frac {r}{y}}={\frac {1}{\sin \theta }}$

$\sec \theta ={\frac {r}{x}}={\frac {1}{\cos \theta }}$

$\cot \theta ={\frac {x}{y}}={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}$

極限

${\begin{cases}f_{1}(z)=az+b{\bar {z}}\\f_{2}(z)=c(z-1)+d({\bar {z}}-1)+1\end{cases}}$