利用者:Ojamajamajama/sandbox

モーメント曲線

モーメント曲線は、 $d$-次元ユークリッド空間内の $(x,x^{2},x^{3},...,x^{d})$ の座標をもつ点の集合として与えられる曲線である。 ユークリッド平面内の場合は、放物線であり、3次元空間内の場合は twisted cubic と呼ばれるものである。それらの射影空間内における閉包は、rational normal curve となる。 モーメント曲線は、離散幾何学における巡回的多面体、no-three-in-line problem などへの応用、あるいは Kneser グラフの彩色数の幾何的な証明などへの応用がある。

性質

任意の超平面はモーメント曲線と高々 $d$個の共有点をもつ。 もしもその個数がちょうど $d$であるときは、それらすべての共有点においてモーメント曲線は超平面と横断的に交わる。 したがって、モーメント曲線上の有限個の点集合は一般の位置にある。

応用

モーメント曲線上の任意の有限点集合の凸包は巡回的多面体となる。 巡回的多面体は、与えられた頂点数の多面体の中で最大の面数をもつものであり、 4以上の次元においては、それらの辺集合は完全グラフを成す。