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利用者:MKBs/sandbox

負の二項分布(ふのにこうぶんぷ)とは、確率分布の一種で、二項分布の拡張。

二つの意味

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負の二項分布は、文献によって異なった意味で使われることがある。

(1) 統計的に独立なベルヌーイ試行を行ったとき、x 回目の試行で k 回目の「成功」が得られた時の x の分布。

(2) 統計的に独立なベルヌーイ試行を行ったときに、k 回目の「成功」を得るまでに失敗した試行回数 y の分布。

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(1) x 回目の試行で k 回目の「成功」が得られた時の x の確率分布

x 回目の試行で k 回目の成功となったのだから、x - 1 回目は必ず失敗している。また、x 回試行したうちの k 回は成功しているのだから、失敗した試行の数は x - k 回。 おのおのの成功する確率を p とすると失敗する確率は (1 - p)。 x 回目の試行は「成功」でなければならないから、成功失敗の順番が決まっていないのは x - 1 回目まで。よって、

となる。


(2) k 回目の「成功」を得るまでに失敗した試行回数 y の確率分布

k 回成功して y 回失敗したので、全試行回数は k + y 回。 また、k + y 回目は「成功」であるので、(1)と同じく成功失敗の組み合わせは k + y - 1 回目までを考え、

となる。


(1)と(2)の両式は変数変換

で互いに可換である。

に注意すると、

期待値

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(1)式と(2)式では期待値が異なる。

(1)式の場合


(2)式の場合

これらは期待値の線形性

から容易に互いに導ける。

だから、

よって




上記のように三つの意味があるので、ここでは最初の意味に絞って解説する。最初の意味では、負の二項分布とは、おのおのの試行で成功する確率が p である独立なベルヌーイ試行を続けておこなったとき、r 回の成功を得るのに必要な試行回数であった。

パラメータ : 成功回数 r は、整数で、1 ≤ r とする。r = 1 のときの負の二項分布を幾何分布という。おのおのの試行で成功する確率 p は、0 < p < 1 である実数である。

  • 確率分布関数 r 回の成功を x 回目の試行で達成する確率
  • 累積分布関数 r 回の成功を、x 回目かそれ以前に達成する確率 : 単純な解法は存在しないが、正規化された不完全なベータ関数を使って計算することができる。二項分布
  • 期待値 E(X) = r / p.
  • 分散 var(X) = σ2 = r(1 − p) / p2.

関連項目

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[[Category:確率分布|ふのにこうふんふ]] [[Category:数学に関する記事|ふのにこうふんふ]]