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利用者:Kurosuke88/temp3

等比数列(とうひすうれつ、または幾何数列(きかすうれつ)、英: geometric progression)は数列のひとつで、隣り合う二項のが項番号によらず常に一定である数列である。その比のことを公比(こうひ、英:common ratio)といい、本校では記号 r で表すことにする。例えば 4,12,36,108,… という数列は初項(a=a1 で表す)が a=4 であり公比 r=3 の等比数列である。r は という形で表され、0以外の全ての数を取りうる。r=1の場合は公差が 0 の等差数列でもある。等比数列は a と r を用いて各項を以下のように表される。

n≧1とすると n 番目の項 an(一般項)は以下の式で表される。

一般に第n項 an と第m項 am の関係は である。

数学的性質

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等比数列 an漸化式で表すと、

a1 = a, an+1 = r an (n≧1)

となる。公比が r<0 の場合は符号が一項ずつ入れ替わる交代数列 (alternation) である。例えば初項 a1=3、公比 r=-2 の等比数列は 3,-6,12,-24,… という数列であり、一般項は

となる。公比が r≧0 であれば全ての項は初項 a1 と同じ符号を持つ。

等比数列はその公比 r の分類により次のように振る舞う。

  • r > 1 : 初項 a1 の符号によって正もしくは負の無限大発散する。
  • r = 1 : 一般項 an=a1 のて定値数列である。
  • -1< r < 1 : 0 に収束する。
  • r =-1 : a と -a の値を交互にとる(振動)。
  • r <-1 : 振動的に発散する(正もしくは負の無限大に極限的に発散するということではない)。

形式的に等比数列の一般項の対数をとると

となり、数列{ln(an)}は初項 ln a 、公差d=ln r の等差数列の一般項になる。

等比級数(幾何級数)

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等比数列の部分和 (geometric series) は等比数列の項の和のことをいい、初項 (第0項) から第n項までの部分和 Sn は以下の式で定義される。

ここで

より

r =1では

である。

一方、第m項から第n項までの和 Sm, n

r =1では

1+1/2+1/4+1/8+… という幾何級数が2に収束することを幾何学的に示した図。2はa=1、r=1/2のときの a/(1-r) に等しい。

無限級数

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初項から全ての項の和を無限級数という。-1< r < 1 すなわち |r| <1 ではn→∞の極限で以下の式で求められる値に収束する。

a≠0かつ |r| ≧1ではこの級数は収束しない。

a=1の場合の式を r で微分すると

となり、

が導かれる。

関連項目

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