利用者:Kurosuke88/Temp3
正多面体が五種類であることの証明は、数学の三次元幾何学の基本定理のひとつ、プラトンの立体が五種類のみであることを証明する。 プラトンの立体は正多角形のみを面として持つ閉じた立体、すなわち正多面体である。プラトンの立体は、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十四面体の五種類のみであることをオイラーの多面体定理の成立を前提にして証明する。
定理
[編集]プラトンの立体は、
- 正三角形を各面とする正四面体
- 正四角形を各面とする正六面体
- 正三角形を各面とする正八面体
- 正五角形を各面とする正十二面体
- 正三角形を各面とする正二十四面体
の五種類のみである。
証明
[編集]補題1: オイラーの多面体定理
多面体を構成する頂点の数、辺の数、面の数をそれぞれ、V、E、F とすると、
である。■
頂点に関する拘束
[編集]【補題2】: (一頂点を共有する面の数)
多面体を構成する一頂点を共有する多角形は三面以上である。■
[証明]
- 多角形を一面のみ共有する頂点が存在すれば、その正多角形は多面体を構成しない。
- 多角形を二面のみ共有する頂点が存在すれば、その正多角形は同一面上にあるため内部を持たず、そのような頂点は多面体を構成しない。
- 多角形を三面以上共有する頂点が存在すれば、内部を持つことが可能であるので多面体を構成可能である。
(Q.E.D.)
【補題3】: (一頂点を共有する辺の数)
正多面体を構成する頂点を構成しうる辺の数は、3, 4, 5 のみである。
[証明] ひとつの頂点を共有する面の数 ' とすると、360/n はその面の角度である。 正 m 多角形の内角は d_m = 180 - 360/m であるので
- d_m n = 360
- (180 - 360/m) n = 360
正多角形の内角のうちでその整数倍が<360となるものは、 正三角形、3面 (60 x 3=180) 正三角形、4面 (60 x 4=240) 正三角形、5面 (60 x 5=300) 正四角形、3面 (90 x 3=270) 正五角形、3面 (108 x 3 = 324) 正六角形、(3面で360となるので構成不可)
関連項目
[編集]参考文献
[編集]- Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6.
- Titchmarsh, E (1948), Introduction to the theory of Fourier integrals (2nd ed.), New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co. (1986発行), ISBN 978-0828403245.
- Volkov, I.I. (2001), “Cesàro summation methods”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric series (2nd ed.), Cambridge University Press (1988発行), ISBN 978-0521358859.