利用者:Kosakajun/共動距離と固有距離

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標準的な宇宙論では、共動距離と固有距離(または物理的距離) は、天文学者が物体間の距離を定義するために使用する2つの密接に関連した距離尺度です。共動距離は宇宙の膨張を考慮しており、空間の膨張によって時間の経過とともに変化しない距離を与えます (ただし、これは、銀河団内の銀河の動きなど、他の局所的な要因によって変化する可能性があります)^[1]。 適切な距離は、宇宙論的時間の特定の瞬間に遠くの物体がどこにあるかにほぼ対応しており、これは宇宙の膨張により時間の経過とともに変化する可能性があります。。現時刻で、移動距離と固有距離は等しいと定義されています。また、宇宙の膨張により、共動距離が一定のままでも、固有距離が変化する場合もあります。

共動座標

一般相対性理論では、任意の座標を使用して物理法則を定式化できますが、座標の選択によっては、より自然で扱いやすいものもあります。共動座標は、そのような自然な座標選択の一例です。これは、宇宙を等方性であると認識する観測者に一定の空間座標値を割り当てます。このような観測者はハッブルフローに沿って移動するため、「共動」観測者と呼ばれます。

共動観測者は、宇宙マイクロ波背景放射を含む宇宙が等方性であると認識する唯一の観測者です。共動しない観測者には、空の領域が体系的に青方偏移または赤方偏移して見えるでしょう。したがって、等方性、特に宇宙マイクロ波背景放射の等方性は、共動座標系と呼ばれる特別なローカル座標系を定義します。局所的な共動フレームに対する観測者の相対的な速度を観測者の固有速度と呼びます。

銀河などの大きな物質の塊のほとんどはほぼ共動しているため、その固有の速度（重力による）は、適度に近い銀河の観測者によって見られる（つまり、すぐ外側の銀河から見られるような）ハッブルフローの速度と比較して小さい。観察された「物質の塊」に局所的なグループ）。

共動時間座標は、共動観測者の時計によるビッグバンからの経過時間であり、宇宙論的時間の尺度です。共動する空間座標はイベントがどこで発生するかを示し、宇宙論的時間はイベントがいつ発生するかを示します。これらは一緒になって完全な座標系を形成し、イベントの場所と時間の両方を示します。

銀河以上のスケールのほとんどの天体はほぼ共動しており、共動する天体は静的で不変の共動座標を持っているため、共動座標内の空間は通常「静的」であると呼ばれます。したがって、特定の共動する銀河のペアについて、それらの間の固有距離は過去には小さかったが、宇宙の膨張により将来はさらに大きくなるでしょうが、それらの間の共動距離は常に一定のままです。

膨張する宇宙は、時間とともに増加するスケールファクターを持ち、一定の共動距離と、時間とともに増加する固有距離が整合することを表しています。

共動距離と固有距離

共動距離は、現在の宇宙論的時間に定義された経路に沿って測定された 2 点間の距離です。ハッブルフローに沿って移動する物体については、時間的には一定のままであるとみなされます。観測者から遠くの物体 (銀河など) までの共動距離は、次の式 (フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量を使用して導出) によって計算できます。

\chi =\int _{t_{e}}^{t}c\;{\frac {\mathrm {d} t'}{a(t')}}

ここで、a ( t ') はスケール係数、t _eは観測者によって観測された光子の放出時間、tは現在時間、cは真空中の光の速度です。

この式は時間の積分でありますが、時間tに仮想の巻き尺で測定される正しい距離、つまり、逆スケールファクター項被積分関数https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c03240c87862b076663a0a1e8aa321fa98018fによる時間依存の光の共動速度を考慮した後の「固有距離」(以下に定義) を与えます。「光の共動速度」とは、時間に依存する共動座標を通る光の速度[c/a(t')]を意味します。 これは、局所的には、光粒子のヌル測地線に沿った任意の点で、慣性系内の観測者は特殊相対性理論に従って常に光の速度をcと測定します。導出については、Davis & Lineweaver 2004 ^[2]の「付録 A: 拡張と地平線の標準一般相対論的定義」を参照してください。特に、 eqs16-22を参照してください。[注: この論文ではスケール係数R(t')は距離の次元を持つ量として定義されますが、動径座標 $\chi$ は無次元です。]

定義

多くの教科書では、共動距離にこの記号が使用されています。ただし、これは座標距離と区別する必要があります。FLRW 宇宙で一般的に使用される共動座標系では、計量は次の形式になります (球面宇宙の半周のみで機能する縮小円周極座標)。

ds^{2}=-c^{2}\,d\tau ^{2}=-c^{2}\,dt^{2}+a(t)^{2}\left({\frac {dr^{2}}{1-\kappa r^{2}}}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\right).

この場合、共動座標距離 $r$ は $\chi$ に関係している:

^[3]^[4]^[5]

\chi ={\begin{cases}|\kappa |^{-1/2}\sinh ^{-1}{\sqrt {|\kappa |}}r,&{\text{if }}\kappa <0\ {\text{(a negatively curved ‘hyperbolic’ universe)}}\\r,&{\text{if }}\kappa =0\ {\text{(a spatially flat universe)}}\\|\kappa |^{-1/2}\sin ^{-1}{\sqrt {|\kappa |}}r,&{\text{if }}\kappa >0\ {\text{(a positively curved ‘spherical’ universe)}}\end{cases}}

ほとんどの教科書や研究論文は、共動観察者間の距離を、時間に依存しない一定の不変量であると定義し、一方、それらの間の動的に変化する距離を「固有距離」と呼んでいます。この用法では、共動距離と固有距離は、現時刻の宇宙年齢では数値的に等しいですが、過去および未来では異なります。銀河までの移動距離を表すと、任意の時間の固有距離は次のように与えられます。

d(t)=a(t)\chi

a(t)はスケールファクターです(例: Davis & Lineweaver 2004)^[2]。時刻tにおける2つの銀河間の固有距離d(t)は、その時点で定規で測定される銀河間の距離です。^[6]

固有距離の使用

宇宙論的時間は、固定された共動空間位置、つまり局所的な共動フレーム内で観測者が局所的に測定した時間と同じです。固有距離は、近くのオブジェクトの移動フレーム内でローカルに測定された距離にも等しくなります。2 つの遠くの物体間の固有距離を測定するには、多くの観察者が 2 つの物体間の直線上にいて、すべての観察者が互いに近くなり、2 つの遠くの物体の間に鎖を形成することを想像します。これらの観測者はすべて同じ宇宙論的時間を持っている必要があります。各観察者は鎖の内の最も近い観察者までの距離を測定し、鎖の長さ、つまり近くの観察者間の距離の合計が固有距離の合計となります。^[7]

共動距離と宇宙論的な固有距離 (特殊相対性理論における固有長とは対照的に) の両方の定義にとって、すべての観測者が同じ宇宙年齢を持っていることが重要です。たとえば、 2 点間の直線または宇宙のような測地線に沿った距離を測定した場合、2 点間に位置する観測者は、測地線が自分の世界線を横切るときに異なる宇宙年齢を持つことになります。したがって、この測地線に沿った距離を計算する場合、共動距離や宇宙論的な固有距離を正しく測定することはできません。共動距離と固有距離は、特殊相対性理論における距離の概念と同じ距離概念ではありません。これは、両方の種類の距離を測定できる、質量のない宇宙の仮想的なケースを考慮することでわかります。FLRW 計量の質量密度がゼロ (空の「ミルン宇宙」) に設定されると、この計量を記述するために使用される宇宙座標系は、表面が一定である特殊相対性理論のミンコフスキー時空における非慣性座標系になります。ミンコフスキー固有時間 τ は、ミンコフスキー図では双曲線として表示されます。慣性座標系の観点から見たものです^[8]。この場合、宇宙論的な時間座標に従って同時である 2 つの事象の場合、宇宙論的な固有距離の値は、これらの同じ事象間の固有長の値と等しくありません^[9]。ミンコフスキー図内のイベント間の直線に沿った距離 (直線は平らなミンコフスキー時空の測地線です)、またはイベントが同時に発生する慣性系内のイベント間の座標距離。

固有距離の変化を、その変化が測定された宇宙論的時間の間隔で割って（または宇宙論的時間に対する固有距離の導関数をとり）、これを「速度」とよぶ場合、その結果得られる銀河やクエーサーの「速度」は光速cを超えることがあります。このような超光速膨張は、特殊相対性理論や一般相対性理論、あるいは物理宇宙論で使用される定義と矛盾しません。この意味では、光自体でさえ「速度」cを持ちません。あらゆる物体の合計速度は合計として表すことができます。

$v_{\text{tot}}=v_{\text{rec}}+v_{\text{pec}}$

$v_{\text{rec}}$ は宇宙の膨張による後退速度 (ハッブルの法則によって与えられる速度)、 $v_{\text{pec}}$ は、ローカルの観測者によって測定された固有速度です（ $v_{\text{rec}}={\dot {a}}(t)\chi (t)$ $v_{\text{pec}}=a(t){\dot {\chi }}(t)$ ,ドットは一次導関数を示す)、つまり光の場合はc (光が原点にある私たちの位置に向かって放射される場合は- c 、私たちから離れる方向に放射される場合は + c ) に等しいですが、総速度は一般にcとは異なります^[2] 。特殊相対性理論でも、光の座標速度は慣性系でcであることが保証されているだけです。非慣性系では、座標速度はcと異なる場合があります^[10]。一般相対性理論では、曲がった時空の広い領域では「慣性」となる座標系はありませんが、曲がった時空の任意の点の局所的な近傍では、局所的な光の速度が c^[11] である「局所慣性系」を定義できます。星や銀河などの巨大な物体の局所速度は常にcより小さい。遠方の物体の速度を定義するために使用される宇宙論的定義は座標に依存します。一般相対性理論では、遠方の物体間の速度について、座標に依存しない一般的な定義はありません。.^[12]宇宙の膨張が最大規模で光速を超えて進行している（または少なくとも進行していた）可能性が非常に高いことをどのように説明し広めるかは、少々の論争を引き起こしています。1 つの視点が Davis と Lineweaverによって2004 年^[2]に提示されています。

短距離と長距離

短い距離での短い時間での移動では、移動中の宇宙の膨張は無視できます。これは、非相対論的移動粒子の任意の2点間の移動時間がちょうど固有距離になるためです (つまり、現在のスケール係数ではなく、移動時の宇宙のスケール係数を使用して測定された共動距離です)。それらの点の間を粒子の速度で割った値。粒子が相対論的速度で移動している場合、時間の遅れに対する通常の相対論的補正を行う必要があります。

こちらもご覧ください

Distance measure for comparison with other distance measures.
Expansion of the universe
Faster-than-light#Universal expansion, for the apparent faster-than-light movement of distant galaxies.
Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric
Proper length
Redshift, for the link betweeen comoving distance to redshift.
Shape of the universe

参照

^ Huterer, Dragan (2023). A Course in Cosmology. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-51359-0
^ ^a ^b ^c ^d T. M. Davis, C. H. Lineweaver (2004). “Expanding Confusion: Common Misconceptions of Cosmological Horizons and the Superluminal Expansion of the Universe”. Publications of the Astronomical Society of Australia 21 (1): 97–109. arXiv:astro-ph/0310808v2. Bibcode: 2004PASA...21...97D. doi:10.1071/AS03040.
^ Roos, Matts (2015). Introduction to Cosmology (4th ed.). John Wiley & Sons. p. 37. ISBN 978-1-118-92329-0 Extract of page 37 (see equation 2.39)
^ Webb, Stephen (1999). Measuring the Universe: The Cosmological Distance Ladder (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 263. ISBN 978-1-85233-106-1 Extract of page 263
^ Lachièze-Rey, Marc; Gunzig, Edgard (1999). The Cosmological Background Radiation (illustrated ed.). Cambridge University Press. pp. 9–12. ISBN 978-0-521-57437-2 Extract of page 11
^ see p. 4 of Distance Measures in Cosmology by David W. Hogg.
^ Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology (1972), p. 415
^ See the diagram on p. 28 of Physical Foundations of Cosmology by V. F. Mukhanov, along with the accompanying discussion.
^ E. L. Wright (2009年). “Homogeneity and Isotropy”. 28 February 2015閲覧。
^ Vesselin Petkov (2009). Relativity and the Nature of Spacetime. Springer Science & Business Media. p. 219. ISBN 978-3-642-01962-3
^ Derek Raine; E.G. Thomas (2001). An Introduction to the Science of Cosmology. CRC Press. p. 94. ISBN 978-0-7503-0405-4
^ J. Baez and E. Bunn (2006年). “Preliminaries”. University of California. 28 February 2015閲覧。

さらに

Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. Steven Weinberg. Publisher:Wiley-VCH (July 1972). ISBN 0-471-92567-5 ISBN 0-471-92567-5.
Principles of Physical Cosmology. P. J. E. Peebles. Publisher:Princeton University Press (1993). ISBN 978-0-691-01933-8 ISBN 978-0-691-01933-8.

外部リンク

[[Category:物理量]]

[1] Huterer, Dragan (2023). A Course in Cosmology. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-51359-0

[D&L_EC3-2] T. M. Davis, C. H. Lineweaver (2004). “Expanding Confusion: Common Misconceptions of Cosmological Horizons and the Superluminal Expansion of the Universe”. Publications of the Astronomical Society of Australia 21 (1): 97–109. arXiv:astro-ph/0310808v2. Bibcode: 2004PASA...21...97D. doi:10.1071/AS03040.

[3] Roos, Matts (2015). Introduction to Cosmology (4th ed.). John Wiley & Sons. p. 37. ISBN 978-1-118-92329-0 Extract of page 37 (see equation 2.39)

[4] Webb, Stephen (1999). Measuring the Universe: The Cosmological Distance Ladder (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 263. ISBN 978-1-85233-106-1 Extract of page 263

[5] Lachièze-Rey, Marc; Gunzig, Edgard (1999). The Cosmological Background Radiation (illustrated ed.). Cambridge University Press. pp. 9–12. ISBN 978-0-521-57437-2 Extract of page 11

[6] see p. 4 of Distance Measures in Cosmology by David W. Hogg.

[7] Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology (1972), p. 415

[8] See the diagram on p. 28 of Physical Foundations of Cosmology by V. F. Mukhanov, along with the accompanying discussion.

[9] E. L. Wright (2009年). “Homogeneity and Isotropy”. 28 February 2015閲覧。

[10] Vesselin Petkov (2009). Relativity and the Nature of Spacetime. Springer Science & Business Media. p. 219. ISBN 978-3-642-01962-3

[11] Derek Raine; E.G. Thomas (2001). An Introduction to the Science of Cosmology. CRC Press. p. 94. ISBN 978-0-7503-0405-4

[12] J. Baez and E. Bunn (2006年). “Preliminaries”. University of California. 28 February 2015閲覧。

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