利用者:Koba-e964/sandbox

数論において、古典的モジュラー曲線とは既約な平面代数曲線であって、方程式

Φ n (x, y) = 0

を満たし、点 $(x, y) = (j (nτ), j (τ))$ が曲線の上にあるようなものである。ここで、 $j (τ)$ は $j$ -不変量のことを指す。

この曲線は $X 0 (n)$ と呼ばれることもあるが、 $X 0 (n)$ という記法はさまざまなモデルを持つような抽象的な代数曲線に対して使われる。関連する対象に、古典的モジュラー多項式という、 $Φ n (x, x)$ で定義される一変数多項式もある。古典的モジュラー多項式という名前は、二変数多項式 $Φ n (x, y)$ を指して使われることもある^[1]。

古典的モジュラー曲線はモジュラー曲線の広大な理論の一部分であることに注意されたい。特に、古典的モジュラー曲線は複素上半平面 $H$ の商のコンパクト化として表現することもできる。

モジュラー曲線の幾何

古典的モジュラー曲線は $X 0 (n)$ と表記され、 $n > 1$ のとき次数が $2 n$ 以上である。次数がちょうど $2 n$ であるのは $n$ が素数であるとき、およびそのときに限る。多項式 $Φ n$ は整数係数を持ち、それゆえ任意の体で定義される。しかし、係数は相当に大きく、この曲線に対する計算は難しい場合がある。 $Z [y]$ 係数の $x$ に関する多項式としてみると、古典的モジュラー多項式の次数は $ψ (n)$ である。ここで $ψ$ はデデキントのψ関数（英語版）である。 $Φ n (x, y) = Φ n (y, x)$ であるため、 $X 0 (n)$ は直線 $y = x$ に関して線対称であり、 $Φ n (x, x) = 0$ の重根において特異点を持ち、そこで古典的モジュラー曲線は自分自身と交差する。特異点はこれらだけではなく、特に $n > 2$ のとき, there are two singularities at infinity, where $x = 0, y = \infty$ and $x = \infty, y = 0$ , which have only one branch and hence have a knot invariant which is a true knot, and not just a link. この特異点は、一つの分枝を持ち、それゆえ非自明な結び目であり、ただの絡み目ではない。

モジュラー曲線のパラメータ付け

$n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18, 25$ に対しては、 $X 0 (n)$ の種数は 0 である。そのため、有理関数によるパラメータ付けができる[1]。非自明な中で最も単純である例は $X 0 (2)$ であり、

j_{2}(q)=q^{-1}-24+276q-2048q^{2}+11202q^{3}+\cdots =\left({\frac {\eta (q)}{\eta (q^{2})}}\right)^{24}

を (定数項を無視した) モンスター群のクラス 2B の元に対するマッカイ・トンプソン級数（英語版）とし、 $η$ をデデキントのイータ関数としたとき、

x={\frac {(j_{2}+256)^{3}}{j_{2}^{2}}},

y={\frac {(j_{2}+16)^{3}}{j_{2}}}

は $j 2$ の有理関数による $X 0 (2)$ のパラメータ付けである。このパラメータ付けを使う際実際に $j 2$ を計算する必要はない。 $j 2$ の部分は任意のパラメータと見なすことができる。

写像

$Q$ 上の曲線 $C$ 　は、ある $n$ に対して整数係数の有理写像であるような全射準同型 $φ : X 0 (n) \to C$ が存在する時、モジュラー曲線と呼ばれる。有名な谷山・志村予想は $Q$ 上ですべての楕円曲線はモジュラーであるという主張である。

Mappings also arise in connection with $X 0 (n)$ since points on it correspond to some $n$ -isogenous pairs of elliptic curves. An isogeny between two elliptic curves is a non-trivial morphism of varieties (defined by a rational map) between the curves which also respects the group laws, and hence which sends the point at infinity (serving as the identity of the group law) to the point at infinity. Such a map is always surjective and has a finite kernel, the order of which is the degree of the isogeny. Points on $X 0 (n)$ correspond to pairs of elliptic curves admitting an isogeny of degree $n$ with cyclic kernel.

When $X 0 (n)$ has genus one, it will itself be isomorphic to an elliptic curve, which will have the same $j$ -invariant.

For instance, $X 0 (11)$ has $j$ -invariant $-2 1211 -5 313$ , and is isomorphic to the curve $y 2 + y = x 3 - x 2 - 10 x - 20$ . If we substitute this value of $j$ for $y$ in $X 0 (5)$ , we obtain two rational roots and a factor of degree four. The two rational roots correspond to isomorphism classes of curves with rational coefficients which are 5-isogenous to the above curve, but not isomorphic, having a different function field. Specifically, we have the six rational points: x=-122023936/161051, y=-4096/11, x=-122023936/161051, y=-52893159101157376/11, and x=-4096/11, y=-52893159101157376/11, plus the three points exchanging $x$ and $y$ , all on $X 0 (5)$ , corresponding to the six isogenies between these three curves.

If in the curve $y 2 + y = x 3 - x 2 - 10 x - 20$ , isomorphic to $X 0 (11)$ we substitute

x\mapsto {\frac {x^{5}-2x^{4}+3x^{3}-2x+1}{x^{2}(x-1)^{2}}}

y\mapsto y-{\frac {(2y+1)(x^{4}+x^{3}-3x^{2}+3x-1)}{x^{3}(x-1)^{3}}}

and factor, we get an extraneous factor of a rational function of $x$ , and the curve $y 2 + y = x 3 - x 2$ , with $j$ -invariant $-2 1211 -1$ . Hence both curves are modular of level $11$ , having mappings from $X 0 (11)$ .

By a theorem of Henri Carayol, if an elliptic curve $E$ is modular then its conductor, an isogeny invariant described originally in terms of cohomology, is the smallest integer $n$ such that there exists a rational mapping $φ : X 0 (n) \to E$ . Since we now know all elliptic curves over $Q$ are modular, we also know that the conductor is simply the level $n$ of its minimal modular parametrization.

具体例

これらの具体例は[2]による。

\Phi _{1}(x,y)=x-y

\Phi _{2}(x,y)=(x^{3}+y^{3})-162000(x^{2}+y^{2})+1488xy(x+y)-x^{2}y^{2}+8748000000(x+y)+40773375xy-157464000000000

参考文献

Hecke, Erich (1935), “Die eindeutige Bestimmung der Modulfunktionen q-ter Stufe durch algebraische Eigenschaften”, Mathematische Annalen 111: 293–301, doi:10.1007/BF01472221, https://eudml.org/doc/159776 , reprinted in Mathematische Werke, third edition, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1983, 568-576
Anthony Knapp, Elliptic Curves, Princeton, 1992
Serge Lang, Elliptic Functions, Addison-Wesley, 1973
Goro Shimura, Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, Princeton, 1972

^ Bröker, R.; Lauter., K.; Sutherland, A., Modular polynomials via isogeny volcanoes, https://arxiv.org/abs/1001.0402

外部リンク

OEIS sequence A001617 (Genus of modular group Gamma_0(n). Or, genus of modular curve X_0(n))
[3] Coefficients of $X 0 (n)$

[1] Bröker, R.; Lauter., K.; Sutherland, A., Modular polynomials via isogeny volcanoes, https://arxiv.org/abs/1001.0402

[1]

モジュラー曲線の幾何

モジュラー曲線のパラメータ付け

写像

具体例

関連項目

参考文献

外部リンク