![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\displaystyle \;{\frac {dy}{\;dt\;}}\;}{\displaystyle {\frac {dx}{\;dt\;}}}}=\displaystyle {\frac {\;\displaystyle {\frac {1}{\;m\;}}\;}{\displaystyle {\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}}}-{\frac {\;\displaystyle {\frac {\ell }{\;m\;}}\;}{1}}=\displaystyle {\frac {\;\ell +m\psi (t)\;}{\;m\;}}-\displaystyle {\frac {\ell }{\;m\;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b996d943433b84db54852d51b0252044b933eb59)
・・B・・
・・A・・
*****
**・*
**・**
***
-
****
***
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\displaystyle \;{\frac {dy}{\;dt\;}}\;}{\displaystyle {\frac {dx}{\;dt\;}}}}=\displaystyle {\frac {\;\displaystyle -{\frac {\ell }{\;m\;}}\cdot \!{\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}\;}{\displaystyle {\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5053b490b17121afb24deaee6acf4ec84368c29a)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\displaystyle \;{\frac {dy}{\;dt\;}}\;}{\displaystyle {\frac {dx}{\;dt\;}}}}=\displaystyle {\frac {\;\displaystyle {\frac {1}{\;m\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}\;}{\displaystyle {\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8122eeb6ec4d49ae36881d2f83e9d8d128d069bb)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\displaystyle \;{\frac {dy}{\;dt\;}}\;}{\displaystyle {\frac {dx}{\;dt\;}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5bd01b803a184d73a2af6666b5d65b33e6353d)
次に、
と
から
に至る計算の詳細を下に示しておく。
(▲)式を
で微分した式は前掲の、
である。一方、(▲▲)式を
で微分すると、
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\;{d}y\;}{dt}}={\frac {1}{\;m\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}-{\frac {\ell }{\;m\;}}\cdot \!{\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132907ff8639cb9f4e84ea09a7ea0adc805a7e49)
となる。
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\;\displaystyle {\frac {1}{\;m\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}-{\frac {\ell }{\;m\;}}\cdot \!{\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}\;}{\displaystyle {\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308883bad90fe3c5941a10ad27ecf653d813720f)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\;\displaystyle {\frac {\;{d}y\;}{dt}}={\frac {1}{\;m\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}-{\frac {\ell }{\;m\;}}\cdot \!{\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}\;}{\displaystyle {\frac {\;{d}x\;}{dt}}={\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5e7827cdd410bf91ac4ba5874a895e57bc88f8)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\;{d}y\;}{dt}}={\frac {1}{\;m\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}-{\frac {\ell }{\;m\;}}\cdot \!{\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132907ff8639cb9f4e84ea09a7ea0adc805a7e49)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\;{d}y\;}{dt}}={\frac {1}{\;m\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}-{\frac {\ell }{\;m\;}}\left\{\!{\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}\,\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6eca9a7cb1cda69d562a4891bfbd30a2ca00244)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\;{d}y\;}{dt}}={\frac {1}{\;m\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}-{\frac {\ell }{\;m\;}}\left\{\!{\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}\,\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6eca9a7cb1cda69d562a4891bfbd30a2ca00244)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\;{d}x\;}{dt}}={\frac {1}{\;\ell +m\psi (t)\;}}\cdot {\frac {\;{d}\phi (t)\;}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/852b74b00f56dbf76b2b573c6d72ad755a725dcd)
上記の(▲)と(▲▲)を用いて、
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {dy}{\;dx\;}}={\frac {\displaystyle {\frac {dy}{\;dt\;}}}{\displaystyle {\frac {dx}{\;dt\;}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f90a39c27d62c710b91ec2b3ccb5713297d1c3)
を計算すると、
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {dy}{\;dx\;}}=\psi (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26cc2cdd910a7d0ab440bd8f2d0f3948b03618bf)
を得る。この
は、
を解く時、
始めに仮定した式と同一である。
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {dy}{\;dx\;}}={\frac {\displaystyle \;{\frac {dy}{\;dt\;}}\;}{\displaystyle {\frac {dx}{\;dt\;}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25215404e2b61e8d2697f3225b449ac8b4aa3a9)
・・・・・(▲)
・・・・・(▲▲)
次に、例題2 の(★)式を展開すると、
・・・・・(★★)
となる。
・・・・・(#)(•)
・・・・・(##)(••), (• •),
いま,
であるから,上記の解、(#)式と(##)式を用いて,
と
を計算してみる.
テスト: ok 下記の三行を投稿に使う. 2021/05/25//12:22/
・・・・・(*)
・・・・・(**)
いま、(*)式と(**)式を
![{\displaystyle \left({\frac {dy}{\;dt\;}}\right){\big /}\left({\frac {dx}{\;dt\;}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771b568802a0d7013a3d391dae569c7cde84f4db)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {dy}{\;dx\;}}={\frac {\displaystyle \;{\frac {dy}{\;dt\;}}}{\displaystyle {\frac {dx}{\;dt\;}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d4e09449f2bd8c119f10de3a709d7000d332e8)
1,
![{\displaystyle {\frac {dx}{\;dt\;}}={\frac {1}{\;\ell +m\phi (t)\;}}\cdot {\frac {\;d\phi (t)\;}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f63610c13df7037758df99dc875e6149df2688)
![{\displaystyle {\frac {dy}{\;dt\;}}={\frac {\phi (t)}{\;\ell +m\phi (t)\;}}\cdot {\frac {\;d\phi (t)\;}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2cbc6388db85d6a1cc5c4a5772754a05f064a4)
が得られた。
例題1 は、
の場合であるから、
上式
は、常微分方程式
を解くとき、
始めに仮定した式
と同一である。
![{\displaystyle \displaystyle y={\frac {1}{\;m\;}}[{\frac {1}{\;m\;}}{(\exp(mx-mC)-\ell )-k-\ell x}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b3fda1fe6c95b238d48858be9089705bf884a4)
![{\displaystyle \displaystyle y={\frac {1}{\;m\;}}\left[{\frac {1}{\;m\;}}\{(\exp(mx-mC)-\ell )-k-\ell x\}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d93b56333311d27afe92511a6c1b2ef8d9e4b1)
![{\displaystyle \displaystyle y={\frac {1}{\;m\;}}\left[{\frac {1}{\;m\;}}\{\exp(mx-mC)-\ell \}-k-\ell x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f06edbb842534ac733ba42d4af242435ada299c)
![{\displaystyle \displaystyle y={\frac {1}{\;m\;}}\left[{\frac {1}{\;m\;}}\{\exp(mx-mC\;)-\ell \;\}-k-\ell x\;\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22925f35a29fe22e6674a9014c75a07542d3470)
・・・・・(•••)
次に、(•)式と(••)式から、
を消去した式を示しておく。
・・・・・(•••)
上式(•••)は、
の一般解である。
上記(★)式の一般解は、公式を用いて解くと、
・・・・・(★★)
となる。
この(★★)式は(★)式、
を満たすので(★)式の一般解である。
以下で、例題1 の(•••)式と (★★)を比較する。
まず、例題1 の(•••)式を展開すると、
![{\displaystyle \displaystyle y={\frac {\;\exp(-mC)\;}{m^{2}}}\cdot \exp(mx)-{\frac {\;\ell x\;}{m\;}}-{\frac {\ell }{\;m^{2}\;}}-{\frac {k}{\;m\;}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ff186a2df3984b2624a7678471995020d5ba30)