圏論 においてカン拡張 とは普遍性 を持つ構成の一種である。 カン拡張は随伴関手 と近い関係を持つばかりでなく、圏における極限 概念やエンド とも関係している。カン拡張の名は1960年に極限を用いてこの拡張を構成した ダニエル・カン の名に由来している。黎明期のカン拡張はホモロジー代数 で導来関手 を求める際に使われていた。
圏論の基礎 Saunders Mac Lane 著）においてMac Laneは「すべての概念はカン拡張である」と述べ、さらには「カン拡張には圏論における基本的な概念がすべて含まれている」とまで述べている。
ある部分集合上で定義された関数を全体集合にまで拡張する操作を一般化したものがカン拡張である。カン拡張の定義は、当然のように高度に抽象化されている。特別な場合として、半順序集合の場合には、カン拡張は'constrained optimization'の問題となり比較的馴染み深いものになる。
3つの圏
A
,
B
,
C
{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} }
および二つの関手
X
:
A
→
C
,
F
:
A
→
B
{\displaystyle X\colon \mathbf {A} \to \mathbf {C} ,F\colon \mathbf {A} \to \mathbf {B} }
が与えられたとき、
F
{\displaystyle F}
X
{\displaystyle X}
どちらも、次の図式の破線で書かれた関手と2-セル
η
{\displaystyle \eta }
形式的には、
X
{\displaystyle X}
F
{\displaystyle F}
R
:
B
→
C
{\displaystyle R\colon \mathbf {B} \to \mathbf {C} }
η
:
R
F
→
X
{\displaystyle \eta \colon RF\to X}
M
:
B
→
C
{\displaystyle M\colon \mathbf {B} \to \mathbf {C} }
μ
:
M
F
→
X
{\displaystyle \mu \colon MF\to X}
δ
:
M
→
R
{\displaystyle \delta \colon M\to R}
(ここで、
δ
F
{\displaystyle \delta _{F}}
a
∈
A
{\displaystyle a\in \mathbf {A} }
δ
F
(
a
)
=
δ
(
F
a
)
:
M
F
(
a
)
→
R
F
(
a
)
{\displaystyle \delta _{F}(a)=\delta (Fa)\colon MF(a)\to RF(a)}
関手R はしばしば
Ran
F
X
{\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}X}
圏論におけるほかの普遍的構成と同じようにして、「左」カン拡張は右カン拡張の双対概念として得られる。すなわち上記の自然変換たちの向きを単に逆にするだけである。(関手
F
,
G
:
C
→
D
{\displaystyle F,G\colon \mathbf {C} \to \mathbf {D} }
T
{\displaystyle T}
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
a
{\displaystyle a}
T
(
a
)
:
F
(
a
)
→
G
(
a
)
{\displaystyle T(a)\colon F(a)\to G(a)}
T
(
a
)
{\displaystyle T(a)}
T
{\displaystyle T}
つまり右カン拡張と同様にして次のように述べられる:
X
{\displaystyle X}
F
{\displaystyle F}
L
:
B
→
C
{\displaystyle L\colon \mathbf {B} \to \mathbf {C} }
ϵ
:
X
→
L
F
{\displaystyle \epsilon \colon X\to LF}
M
:
B
→
C
{\displaystyle M\colon \mathbf {B} \to \mathbf {C} }
α
:
X
→
M
F
{\displaystyle \alpha \colon X\to MF}
σ
:
L
→
M
{\displaystyle \sigma \colon L\to M}
(ここで、
σ
F
{\displaystyle \sigma _{F}}
a
∈
A
{\displaystyle a\in \mathbf {A} }
σ
F
(
a
)
=
σ
(
F
a
)
:
L
F
(
a
)
→
M
F
(
a
)
{\displaystyle \sigma _{F}(a)=\sigma (Fa)\colon LF(a)\to MF(a)}
そして関手L はしばしば
Lan
F
X
{\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X}
L
,
M
{\displaystyle L,M}
X
{\displaystyle X}
F
{\displaystyle F}
ϵ
,
α
{\displaystyle \epsilon ,\alpha }
σ
:
L
→
M
{\displaystyle \sigma \colon L\to M}
X
:
A
→
C
{\displaystyle X:\mathbf {A} \to \mathbf {C} }
F
:
A
→
B
{\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }
A が小さい圏でC は余完備である場合は、
X
{\displaystyle X}
F
{\displaystyle F}
L
a
n
F
X
{\displaystyle \mathrm {Lan} _{F}X}
B の各対象b に対して
(
L
a
n
F
X
)
(
b
)
=
lim
→
f
:
F
a
→
b
X
(
a
)
{\displaystyle (\mathrm {Lan} _{F}X)(b)=\varinjlim _{f:Fa\to b}X(a)}
により定義される。ただし余極限はコンマ圏
(
F
↓
b
)
{\displaystyle (F\downarrow b)}
双対的にA が小さい圏で C が完備ならば、
X
{\displaystyle X}
F
{\displaystyle F}
2つの関手
K
:
M
→
C
{\displaystyle K:\mathbf {M} \to \mathbf {C} }
T
:
M
→
A
{\displaystyle T:\mathbf {M} \to \mathbf {A} }
は、M の任意の対象m とm' およびC の任意の対象c に対して、A 上の余冪
C
(
K
m
′
,
c
)
⋅
T
m
{\displaystyle \mathbf {C} (Km',c)\cdot Tm}
C の対象c に対して存在すれば、関手T はK に沿った左カン拡張L を持ち、C の任意の対象c に対し、
L
c
=
(
L
a
n
K
T
)
c
=
∫
m
C
(
K
m
,
c
)
⋅
T
m
{\displaystyle Lc=(\mathrm {Lan} _{K}T)c=\int ^{m}\mathbf {C} (Km,c)\cdot Tm}
が成立する。
双対的に、右カン拡張も次の公式で計算できる。
(
R
a
n
K
T
)
c
=
∫
m
T
m
C
(
c
,
K
m
)
{\displaystyle (\mathrm {Ran} _{K}T)c=\int _{m}Tm^{\mathbf {C} (c,Km)}}
関手
F
:
C
→
D
{\displaystyle F:C\to D}
l
i
m
F
=
R
a
n
E
F
{\displaystyle \mathrm {lim} F=\mathrm {Ran} _{E}F}
ここで、
E
{\displaystyle E}
C
{\displaystyle C}
1 （1つの対象と1つの射からなる圏、
C
a
t
{\displaystyle Cat}
F
{\displaystyle F}
c
o
l
i
m
F
=
L
a
n
E
F
{\displaystyle \mathrm {colim} F=\mathrm {Lan} _{E}F}
で表される。
York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8 . Zbl 0906.18001
