利用者:I.hidekazu/述語論理
述語論理の構成
[編集]述語論理は命題論理の拡張。命題論理的な部分はかなり省略する。
論理式
[編集]- 定義（命題変項、個体変項、述語変項）
- 命題変項、個体変項、述語変項をそれぞれ以下のように表す事とする
- 命題変項：X , Y , Z ...
- 個体変項：x , y , z ...
- 述語変項：P( . ) , Q( . , .) , ...
- 定義（論理式）
- 一つの命題変項は論理式である
- 引数項がすべて個体変項で満たされた述語変項は論理式である
- 記号の組み合わせ 甲 が論理式であれば、¬甲もまた論理式である。
- ...
- ...
論理式の普遍妥当性
[編集]- 定義（論理式の恒真性、普遍妥当性）
述語論理における論理式が恒真、または普遍妥当であるとは、その論理式の個体領域のすべての個体に対して論理式が真となることを言う。
論理式の標準形
[編集]- 定義（冠頭標準形）
- 定義（スコーレム標準形）
- 存在記号がすべて全称記号の前にある冠頭標準形をスコーレム標準形と呼ぶ。
スコーレム標準形をもつすべての恒真式は、常に公理系から導出可能
述語論理の公理系
[編集]命題論理の公理系を拡張したもの。命題論理の公理系の知識前提
- 命題論理の公式
- X ∧ Y → Y
対応する述語論理の公式
- ∃ x { F(x) ∧ G(x) } → ∃ x G(x)
公理的集合論との関係
[編集]x ∈ P を以下で定義
- x ∈ P ⇔ P(x)
参考文献
[編集]- D.ヒルベルト、W.アッケルマン 著、伊藤誠（訳） 編『記号論理学の基礎（第３版）』大阪教育図書社、1954年。