利用者:I.hidekazu/束論

束論（そくろん、英: lattice theory）とは、結び ∨ と交わり ∧ を持つ代数に関する理論を言う。半順序集合の理論の一種として扱われることが多い。束論は、ジョージ・ブールによるブール代数に始まる。

概要

半順序集合を＜P ; ≦＞とする。任意の２元 a, b ∈ P について、その最小上界 a ∨ bと最大下界 a ∧ b が存在するとき、代数＜P ; ≦, ∨, ∧＞を束（lattice）と呼ぶ。

束 L（＜L ; ∨, ∧＞）の L の部分集合 C が

a, b ∈ C のとき a ∨ b ∈ C

k ∈ L, a ∈ C のとき k ∧ a ∈ C

を満たすとき、C を束 L のイデアル（ideal）と呼ぶ^[1]。明らかにイデアルは束となる^[2]。

束 L の任意の元 a ∈ L に対して、

(a) (= aL) = { x ∈ L | x ≦ a }

はイデアルを成す^[3]。このとき、このイデアル (a)（または aL と表す）を a から生成される主イデアル（principal ideal）と呼ぶ。定義から任意の c ∈ (a) に対して、c ≦ a が成り立つ。

束 L のすべてのイデアルの集合を I とする。

I = { C ⊆ L | C は L のイデアル }

このとき、I に対して以下の演算が定義できる。

C, D ∈ I のとき、C ∩ D はイデアル

^ なお、束のイデアルについて以下が成り立つ。
a ≦ b かつ b ∈ C のとき、a ∈ C
（証明）
b ∈ C であるのでイデアルの定義から任意の a ∈ L に対して a ∧ b ∈ C

交わり演算の半順序模倣性より a ≦ b ↔ a ∧ b = a

すなわち、a ≦ b である a ∈ L とは a ∧ b = a を満たす a に他ならない。

したがって、a ∧ b ∈ C かつ a = a ∧ b から、a ∈ C
^ 結びについては定義より明らか。交わりについて、C ⊆ L であることから、a, b ∈ C のとき a ∧ b ∈ C
^ 束 L が最大元 1 を持つのであれば、
(a) = { a ∧ x | x ∈ L }
と定義しても良い。1 を持たない場合、イデアル (a) は要素として a を持たないことになってしまうため、半順序関係で定義している。

ガーレット・バーコフ, ソンダース・マクレーン『現代代数学概論』（改訂第３版）白水社、1967年。
前田周一郎『束論と量子論理』槙書店、1980年。
Garrett Birkhoff (1979). Lattice Theory (3rd ed.). American Mathematical Society
ジョン・L.ケリー著、児玉之宏（訳）編『位相空間論』吉岡書店、1979年。
山崎進『計算論理に基づく推論ソフトウェア論』コロナ社、2000年。
George Grätzer (1979). Universal Algebra (2nd ed.)
George Grätzer (2003). General Lattice Theory (2nd ed.)
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