利用者:I.hidekazu/ルベーグ積分

ルベーグ積分（るべーぐせきぶん、英: Lebesgue integration）とは、ほとんど至るところ不連続な関数に対する積分法を言う。

積分区間を分割して極限をとる区分求積法（リーマン積分）は基本的に連続関数に対してのみ適用可能であるのに対し、積分区間中の被積分関数の値域区間を分割し、当時新興の集合論を活用して対応する積分区間の断片の集合族を抽出した上でその長さを算出することで積分を実行する。

概要

ニュートン・ライプニッツによって始められた微分積分法において、被積分関数 f の区間 [a,b] における積分を行う場合、積分演算の意味は、

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$　（ここで F は f の原始関数）

であった。ただし、被積分関数が楕円関数である場合など、原始関数が存在しないときは積分することができないという欠点があった。

その欠点を克服するためにコーシーの時代にほぼ確立されたのが区分求積法による方法で、被積分関数 f が連続関数（continuous function）であるとき区間 [a,b] におけるその積分は、

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{n\to }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x$

参考文献

• 吉田耕作, 松原稔 編『ルベーグ 積分・長さおよび面積』共立出版株式会社〈現代数学の系譜〉、1969年。 
• 竹之内脩『ルベーグ積分』培風館〈現代数学レクチャーズ〉、1980年。