利用者:Hymath/sandbox/下書き4

数学において、距離空間が固有（こゆう、英: proper）であるとは任意の有界閉集合がコンパクトになることをいう。 ユークリッド空間のもっとも重要な性質であるハイネ・ボレルの被覆定理を一般化した性質とも言える。

通常ここでいう固有は距離空間に対して定義されるが、更に一般に位相と有界集合系が与えられた空間についても同様に固有が定義される。

距離空間 X と点 x ∈ X について写像 f : X → R を f (y) := d (x , y) と定義したとき、f が固有写像 になることと X が固有なことが同値。

性質

• 固有距離空間は完備かつ局所コンパクトかつσコンパクト。
• 固有距離空間は可分かつ第二可算。
• 固有距離空間の部分空間が固有なのは閉であるちょうどそのとき。
• 固有距離空間の有限直積は固有。
• 固有な弧長距離空間は測地距離空間となる。
• 弧長距離空間は完備かつ局所コンパクトなとき、固有。特にそのとき測地距離空間となる（距離空間に関するホップ・リノウの定理）。

例

• ユークリッド空間及びその閉部分集合は固有。
• ユークリッド空間の非自明な開部分集合（開区間など）は局所コンパクトだが完備でなく、特に固有でない。