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• シューアの補題

数学におけるシューアの補題（英:Schur's Lemma）とは、群や代数の表現論において基本的でかつ有用な命題である。群の場合には、群Gの有限次元既約表現M、Nとその間の線型写像φであってGの作用と可換なものがあれば、それは同型であるかまたは零写像であることを主張する。とくに重要なのはM=Nでφが自己準同型の場合である。補題の名前は、イサイ・シューアにちなんでいる。彼は、この補題を用いて、シューアの直交関係式を証明し、有限群の表現論の基礎を打ち立てた。シューアの補題は、リー群やリー環の場合にも一般化することができる。もっとも有名なものはJacques Dixmierによるものである。

加群を用いた定式化

Rを環、 M と N を2つの既約R-加群とする。このとき、f: M → N という R-加群の準同型は同型であるかまたは零写像である。特に、既約R-加群の自己準同型環は斜体になる。 ここで、fがR-加群の準同型であるとは、 任意の$m\in M$と$r\in R$に対して

$f(rm)=rf(m)$

が成り立つことを言う。 群の場合のシューアの補題は上記の加群に対するものの特別な場合にあたる。というのは、 群Gの表現を考えることと、Gの群環上の加群を考えることとは同値だからである.

シューアの補題は、例えば次のような場合によく利用される。 Rを複素数体C上の代数とする。またM=NをR上の有限次元既約加群とする。シューアの補題から、Mの自己準同型環は斜体となる。この斜体はCを中心に含むため、C上有限次元となり、それはC自身に一致するしかない。

Thus the endomorphism ring of the module M is "as small as possible". More generally, this result holds for algebras over any algebraically closed field and for simple modules that are at most countably-dimensional. When the field is not algebraically closed, the case where the endomorphism ring is as small as possible is of particular interest: A simple module over k-algebra is said to be absolutely simple if its endomorphism ring is isomorphic to k. This is in general stronger than being irreducible over the field k, and implies the module is irreducible even over the algebraic closure of k.

Matrix form

Let G be a complex matrix group. This means that G is a set of square matrices of a given order n with complex entries and G is closed under matrix multiplication and inversion. Further, suppose that G is irreducible: there is no subspace V other than 0 and the whole space which is invariant under the action of G. In other words,

${\text{if }}gV\subseteq V{\text{ for all }}g{\text{ in }}G,{\text{ then either }}V=0{\text{ or }}V=\mathbb {C} ^{n}.$

Schur's lemma, in the special case of a single representation, says the following. If A is a complex matrix of order n that commutes with all matrices from G then A is a scalar matrix. As a simple corollary, every complex irreducible representation of Abelian groups is one-dimensional.

See also Schur complement.

Generalization to non-simple modules

The one module version of Schur's lemma admits generalizations involving modules M that are not necessarily simple. They express relations between the module-theoretic properties of M and the properties of the endomorphism ring of M.

A module is said to be strongly indecomposable if its endomorphism ring is a local ring. For the important class of modules of finite length, the following properties are equivalent (Lam 2001, §19):

• A module M is indecomposable;
• M is strongly indecomposable;
• Every endomorphism of M is either nilpotent or invertible.

In general, Schur's lemma cannot be reversed: there exist modules that are not simple, yet their endomorphism algebra is a division ring. Such modules are necessarily indecomposable, and so cannot exist over semi-simple rings such as the complex group ring of a finite group. However, even over the ring of integers, the module of rational numbers has an endomorphism ring that is a division ring, specifically the field of rational numbers. Even for group rings, there are examples when the characteristic of the field divides the order of the group: the Jacobson radical of the projective cover of the one-dimensional representation of the alternating group on five points over the field with three elements has the field with three elements as its endomorphism ring.

References

• David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd ed., pg. 337.
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0