利用者:HOTUMA/多角数定理と平方定理

三角数定理

全ての自然数は高々三個の三角数の和として表される。これはフェルマーの多角数定理の特殊な場合であるが、1796年にガウスによって証明された。 その表し方の数が

$t_{3}(n)=3\sum _{k=0}^{n-3k^{2}>0}\left(d_{1,6}(n-3k(k+1)/2)-d_{5,6}(n-3k(k+1)/2)\right)+2\delta$

$d_{i,p}(n)=\sum _{d|n}1$

であることは1988年にEwellによって示された。

二次形式

$8N+3$が三個の平方数の和に表されれば、必然的に三個の奇数の平方数の和であるから、$N$は高々三個の三角数の和に表される。

${8N+3=(2x+1)^{2}+(2y+1)^{2}+(2z+1)^{2}}\quad \Leftrightarrow \quad {N={\frac {x(x+1)}{2}}+{\frac {y(y+1)}{2}}+{\frac {z(z+1)}{2}}}$

算術級数定理により

$p={\frac {(8N+3)(8k+1)-1}{2}}=4(8N+3)k+{\frac {8N+2}{2}}\quad (k\in \mathbb {N} )$

が素数となる自然数$k$が存在する。$p\equiv 1\;({\bmod {\;}}4),-2p\equiv 1^{2}\;({\bmod {\;}}8k+1)$であるから

${\binom {-(8k+1)}{p}}={\binom {8k+1}{p}}={\binom {p}{8k+1}}={\binom {2^{2}p}{8k+1}}={\binom {-1}{8k+1}}{\binom {2}{8k+1}}{\binom {-2p}{8k+1}}=1$

である。故に$-(8k+1)$は$p$の平方剰余であるが、一般に$a^{2}$か$(a+p)^{2}$の一方は偶数であるから、$-(8k+1)$は$2p$の平方剰余でもある。

${\frac {2p+1}{8N+3}}=8k+1=2pq-r^{2}\quad (r,q\in \mathbb {Z} )$

となるように整数$r,q$を選ぶと

$A={\begin{pmatrix}q&r&1\\r&2p&0\\1&0&8N+3\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}f(x,y,z)&=\left(x,y,z\right)A\left(x,y,z\right)^{T}\\&=qx^{2}+2rxy+2py^{2}+2xz+(8N+3)z^{2}\\&=\left({\frac {8k+1}{2p(2p+1)}}+{\frac {2pq-(8k+1)}{2p}}+{\frac {8k+1}{2p+1}}\right)x^{2}+2rxy+2py^{2}+2xz+(8N+3)z^{2}\\&=\left({\frac {8k+1}{2p(2p+1)}}+{\frac {r^{2}}{2p}}+{\frac {1}{8N+3}}\right)x^{2}+2rxy+2py^{2}+2xz+(8N+3)z^{2}\\&=\left({\frac {8k+1}{2p(2p+1)}}x\right)^{2}+\left({\frac {rx}{\sqrt {2p}}}+{\sqrt {2p}}y\right)^{2}+\left({\frac {x}{\sqrt {8N+3}}}+{\sqrt {(8N+3)}}z\right)^{2}\geq 0\end{aligned}}$

は正定値である。$\det {A}=(2pq-r^{2})(8N+3)-2p=1$であるから、二次形式の理論により$f(x,y,z)\sim {x^{2}+y^{2}+z^{2}}$である。そして、$f(0,0,1)=8N+3$であるから$x^{2}+y^{2}+z^{2}=8N+3$となる$x,y,z$が存在する。