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ページ先頭
1
恒等式
2
連分数による証明
3
加法定理による証明
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利用者
:
HOTUMA/三角関数の無限乗積展開
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<
利用者:HOTUMA
恒等式
[
編集
]
cot
θ
2
sin
n
θ
=
cot
θ
2
∑
k
=
1
n
(
sin
k
θ
−
sin
(
k
−
1
)
θ
)
=
cot
θ
2
∑
k
=
1
n
cos
(
2
k
−
1
)
θ
2
sin
θ
2
=
∑
k
=
1
n
cos
(
2
k
−
1
)
θ
2
cos
θ
2
=
∑
k
=
1
n
(
cos
k
θ
+
cos
(
k
−
1
)
θ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}\sin {n\theta }&=\cot {\frac {\theta }{2}}\sum _{k=1}^{n}{\big (}\sin {k\theta }-\sin {(k-1)\theta }{\big )}\\&=\cot {\frac {\theta }{2}}\sum _{k=1}^{n}\cos {\frac {(2k-1)\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\\&=\sum _{k=1}^{n}\cos {\frac {(2k-1)\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\big (}\cos {k\theta }+\cos {(k-1)\theta }{\big )}\\\end{aligned}}}
連分数による証明
[
編集
]
連分数
を介して級数展開を乗積展開に変形することが可能である。以下において連分数を
a
0
+
b
1
a
1
+
b
2
a
2
+
b
3
a
3
+
⋯
=
a
0
+
b
1
a
1
+
b
2
a
2
+
b
3
a
3
+
…
{\displaystyle a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+}}{\frac {b_{2}}{a_{2}+}}{\frac {b_{3}}{a_{3}+}}\dots =a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\dots }}}}}}}
と略記する。
sin
(
π
x
)
=
π
x
−
(
π
x
)
3
3
!
+
(
π
x
)
5
5
!
−
(
π
x
)
7
7
!
+
…
=
π
x
(
1
+
−
(
π
x
)
2
2
⋅
3
(
1
+
−
(
π
x
)
2
4
⋅
5
(
1
+
−
(
π
x
)
2
6
⋅
7
…
)
)
)
=
π
x
0
+
1
1
+
−
(
π
x
)
2
2
⋅
3
(
1
+
−
(
π
x
)
2
4
⋅
5
(
1
+
−
(
π
x
)
2
6
⋅
7
…
)
)
=
π
x
0
+
1
1
+
−
(
π
x
)
2
2
⋅
3
0
+
1
1
+
−
(
π
x
)
2
4
⋅
5
0
+
1
1
+
−
(
π
x
)
2
6
⋅
7
0
+
.
.
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\pi }x)&={\pi }x-{\frac {({\pi }x)^{3}}{3!}}+{\frac {({\pi }x)^{5}}{5!}}-{\frac {({\pi }x)^{7}}{7!}}+\dots \\&={\pi }x\left(1+{\frac {-({\pi }x)^{2}}{2\cdot 3}}\left(1+{\frac {-({\pi }x)^{2}}{4\cdot 5}}\left(1+{\frac {-({\pi }x)^{2}}{6\cdot 7}}\dots \right)\right)\right)\\&={\cfrac {{\pi }x}{0+{\cfrac {1}{1+{\frac {-({\pi }x)^{2}}{2\cdot 3}}\left(1+{\frac {-({\pi }x)^{2}}{4\cdot 5}}\left(1+{\frac {-({\pi }x)^{2}}{6\cdot 7}}\dots \right)\right)}}}}\\&={\frac {{\pi }x}{0+}}{\frac {1}{1+}}{\frac {\frac {-({\pi }x)^{2}}{2\cdot 3}}{0+}}{\frac {1}{1+}}{\frac {\frac {-({\pi }x)^{2}}{4\cdot 5}}{0+}}{\frac {1}{1+}}{\frac {\frac {-({\pi }x)^{2}}{6\cdot 7}}{0+}}...\\\end{aligned}}}
手詰まり。
加法定理による証明
[
編集
]
加法定理より
cot
π
z
=
cos
2
π
z
2
−
sin
2
π
z
2
2
sin
π
z
2
cos
π
z
2
=
cot
π
z
2
−
tan
π
z
2
2
=
1
2
(
cot
π
z
2
+
cot
π
(
z
+
1
)
2
)
{\displaystyle \cot {{\pi }z}={\frac {\cos ^{2}{\frac {{\pi }z}{2}}-\sin ^{2}{\frac {{\pi }z}{2}}}{2\sin {\frac {{\pi }z}{2}}\cos {\frac {{\pi }z}{2}}}}={\frac {\cot {\frac {{\pi }z}{2}}-\tan {\frac {{\pi }z}{2}}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(\cot {\frac {{\pi }z}{2}}+\cot {\frac {{\pi }(z+1)}{2}}\right)}
繰り返して
cot
π
z
=
1
2
n
∑
k
=
0
2
n
−
1
cot
π
(
z
+
k
)
2
n
{\displaystyle \cot {{\pi }z}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\cot {\frac {{\pi }(z+k)}{2^{n}}}}}
手詰まり。