利用者:HOTUMA/ペー関数の加法定理

証明

$\wp (z)$は原点に位数2の極を持つので$\wp '(z)$は原点に位数3の極を持つ。楕円関数の極と零点の位数は等しいので$\wp '(z)-A\wp (z)-B$は位数を考慮すれば三個の零点$a,b,c$を持ち、周期平行四辺形を法として$a+b+c\equiv 0$である。$z\in \{a,b,c\}$であれば

${\begin{aligned}&\wp '(z)=A\wp (z)+B\\&\wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}=\left(A\wp (z)+B\right)^{2}\\&4\wp ^{3}(z)-A^{2}\wp ^{2}(z)+(2AB+g_{2})\wp (z)-(B^{2}+g_{3})=0\end{aligned}}$

であり、

${\begin{aligned}&4\left(\wp (z)-\wp (a)\right)\left(\wp (z)-\wp (b)\right)\left(\wp (z)-\wp (c)\right)=0\\\end{aligned}}$

でもあるから、両式の係数を比べて、

$\wp (a)+\wp (b)+\wp (c)={\frac {A^{2}}{4}}$

を得る。$\left(\wp '(a)-A\wp (a)-B\right)=\left(\wp '(b)-A\wp (b)-B\right)=0$により、

${\begin{aligned}&A={\frac {\wp '(a)-\wp '(b)}{\wp (a)-\wp (b)}}\\&\wp (a)+\wp (b)+\wp (c)={\frac {1}{4}}\left({\frac {\wp '(a)-\wp '(b)}{\wp (a)-\wp (b)}}\right)^{2}\\&\wp (c)={\frac {1}{4}}\left({\frac {\wp '(a)-\wp '(b)}{\wp (a)-\wp (b)}}\right)^{2}-\wp (a)-\wp (b)\\\end{aligned}}$

であるが、$\wp (z)$は偶関数であるから

$\wp (a+b)=\wp (-c)={\frac {1}{4}}\left({\frac {\wp '(a)-\wp '(b)}{\wp (a)-\wp (b)}}\right)^{2}-\wp (a)-\wp (b)$

となる。