部分積分を繰り返すと
となり、実数 x {\displaystyle x} を正の実数とすると
であるから
は漸近展開である。
となるが、積分経路を実軸と並行にとると、 | arg z | ≤ π / 2 {\displaystyle |\arg {z}|\leq \pi /2} の場合は、
であり、 | arg z | < π {\displaystyle |\arg {z}|<\pi } の場合は、
である。また、 | arg z | = π {\displaystyle |\arg {z}|=\pi } の場合は z = − x {\displaystyle z=-x} として、実軸に沿いつつ原点を半径 x / 2 {\displaystyle x/2} の半円で迂回する積分経路を考えると
であるから、
整数 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} と実数 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} を固定すると
であるから、漸近展開
が得られる。