利用者:HOTUMA/ガンマ関数

指数積分

漸近展開

部分積分を繰り返すと

${\begin{aligned}E_{1}(x)&=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}dt\\&={\frac {e^{-x}}{x}}-\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{2}}}dt\\&={\frac {e^{-x}}{x}}-{\frac {e^{-x}}{x^{2}}}+2\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{3}}}dt\\&={\frac {e^{-x}}{x}}-{\frac {e^{-x}}{x^{2}}}+{\frac {2e^{-x}}{x^{3}}}-6\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{4}}}dt\\&={\frac {e^{-x}}{x}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}k!}{x^{k}}}+(-1)^{n}n!\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{n+1}}}dt\qquad (n\in \mathbb {N} )\\\end{aligned}}$

となり、実数$x$を正の実数とすると

${\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }x^{n-1}\left|xe^{x}E_{1}(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}k!}{x^{k}}}\right|&=\lim _{x\to \infty }x^{n-1}\left|n!xe^{x}\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{n+1}}}dt\right|\\&\leq \lim _{x\to \infty }x^{n-1}\left|n!xe^{x}\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{x^{n+1}}}dt\right|=\lim _{x\to \infty }{\frac {n!}{x}}=0\\\end{aligned}}$

であるから

$xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}k!}{x^{k}}}\qquad (x>0)$

は漸近展開である。

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部分積分を繰り返すと

${\begin{aligned}E_{1}(z)&=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}dt\\&={\frac {e^{-z}}{z}}-\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{2}}}dt\\&={\frac {e^{-z}}{z}}-{\frac {e^{-z}}{z^{2}}}+2\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{3}}}dt\\&={\frac {e^{-z}}{z}}-{\frac {e^{-z}}{z^{2}}}+{\frac {2e^{-z}}{z^{3}}}-6\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{4}}}dt\\&={\frac {e^{-z}}{z}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}k!}{z^{k}}}+(-1)^{n}n!\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{n+1}}}dt\qquad (n\in \mathbb {N} )\\\end{aligned}}$

となるが、積分経路を実軸と並行にとると、$|\arg {z}|\leq \pi /2$の場合は、

${\begin{aligned}\left|z^{n-1}\left(ze^{z}E_{1}(z)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}k!}{z^{k}}}\right)\right|&\leq \left|n!z^{n}e^{z}\int _{z}^{\infty }{\frac {\left|e^{-t}\right|}{\left|t^{n+1}\right|}}dt\right|\\&\leq \left|n!z^{n}e^{z}\int _{z}^{\infty }{\frac {\left|e^{-\Re {t}}\right|}{|z|^{n+1}}}dt\right|\\&\leq \left|n!z^{n}e^{z}\int _{\Re {z}}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{|z|^{n+1}}}dt\right|\\&\leq {\frac {n!}{|z|}}\\\end{aligned}}$

であり、$|\arg {z}|<\pi$の場合は、

${\begin{aligned}\left|z^{n-1}\left(ze^{z}E_{1}(z)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}k!}{z^{k}}}\right)\right|&\leq \left|n!z^{n}e^{z}\int _{z}^{\infty }{\frac {\left|e^{-t}\right|}{\left|t^{n+1}\right|}}dt\right|\\&\leq \left|n!z^{n}e^{z}\int _{z}^{\infty }{\frac {\left|e^{-t}\right|}{|\Im {z}|^{n+1}}}dt\right|\\&\leq \left|n!z^{n}e^{z}\int _{\Re {z}}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{|\Im {z}|^{n+1}}}dt\right|\\&\leq {\frac {n!z^{n}}{|\Im {z}|^{n+1}}}={\frac {n!}{(\sin \arg {z})^{n+1}|z|}}\\\end{aligned}}$

である。また、$|\arg {z}|=\pi$の場合は$z=-x$として、実軸に沿いつつ原点を半径$x/2$の半円で迂回する積分経路を考えると

${\begin{aligned}\left|n!x^{n}e^{-x}\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{n+1}}}dt\right|&{\leq }\left|n!x^{n}e^{-x}\int _{-x}^{-x/2}{\frac {e^{-t}}{t^{n+1}}}dt\right|+\left|n!x^{n}e^{-x}\int _{0}^{\pi }{\frac {e^{x/2}}{(x/2)^{n+1}}}d\theta \right|+\left|n!x^{n}e^{-x}\int _{x/2}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{n+1}}}dt\right|\\&{\leq }n!x^{n}e^{-x}\int _{-x}^{-x/2}{\frac {e^{-t}}{(x/2)^{n+1}}}dt+{2^{n+1}n!\pi }e^{-x/2}+n!x^{n}e^{-x}\int _{x/2}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{(x/2)^{n+1}}}dt\\&{\leq }n!x^{n}e^{-x}\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{(x/2)^{n+1}}}dt+{2^{n+1}n!\pi }e^{-x/2}\\&\leq {\frac {2^{n+1}n!}{x}}+{2^{n+1}n!\pi }e^{-x/2}\\\end{aligned}}$

であるから、

整数$n\geq 1$と実数$\delta >0$を固定すると

$\lim _{z\to \infty }\left|z^{n-1}\left(ze^{z}E_{1}(z)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}k!}{z^{k}}}\right)\right|=0\qquad (|\arg {z}|<\pi -\delta )$

であるから、漸近展開

$ze^{z}E_{1}(z)\sim \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}k!}{z^{k}}}\qquad (|\arg {z}|<\pi -\delta ,\forall \delta >0)$

が得られる。

ビネーの第一公式

$\Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi {z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}e^{\mu {(z)}},\quad \mu {(z)}=\int _{t=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-zt}}{t}}dt,\quad (\Re {z}>0)$

マルムステンの公式

$\log \Gamma (z)=\int _{t=0}^{\infty }\left(z-1-{\frac {1-e^{-(z-1)t}}{1-e^{-t}}}\right){\frac {e^{-zt}}{t}}dt,\quad (\Re {z}>0)$