最大値の原理

最大値の原理(maximum modulus principle)は、複素平面の有界な閉部分空間 ${\bar {\mathcal {D}}}\subset \mathbb {C}$ で正則な複素関数 $f:{\bar {\mathcal {D}}}\rightarrow \mathbb {C}$ の絶対値が最大となる点が ${\bar {\mathcal {D}}}$ の境界上に在ることを主張する定理である。 ${\bar {\mathcal {D}}}$ の内部を ${\mathcal {D}}^{i}$ で、 ${\bar {\mathcal {D}}}$ の境界を ${\mathcal {D}}^{f}$ で表すと、

\sup _{z\in {\mathcal {D}}^{i}}\left|f(z)\right|\leq \sup _{z\in {\mathcal {D}}^{f}}\left|f(z)\right|

である。ここで等号が成立するのは $f$ が定数である場合に限られる。また、最大値の原理の系として、 $f$ が根を持たなければ $1/f$ も正則であるから、 $|1/f|$ が最大となる点、即ち、 $|f|$ が最小となる点も境界上に在るといえる。

証明1

コーシー積分

証明2

テイラー展開

証明3

開写像定理の系

ルーシェの定理

ルーシェの定理(Rouché's theorem)は、複素解析関数 $f(z),g(z)$ が領域 ${\mathcal {D}}$ の境界上で常に $|f(z)|>|g(z)|$ であれば、その内部にある $f(z)$ の根と $f(z)+g(z)$ の根が同数であることを主張する複素解析の定理である。正確に述べると、 $f(z),g(z)$ が複素平面の単連結領域 $\mathbb {D}$ 内で正則であり、単純閉曲線 $C\subset \mathbb {D}$ 上で常に $|f(z)|>|g(z)|$ であれば、その内部にある $f(z)$ の根と $f(z)+g(z)$ の根が重複度を考慮して同数であることを主張する。