利用者:H335/重み関数

重み関数は総和、積分したり、平均などの演算をするときに、いくつかの要素または全ての要素に「重み」をつけるための方法である(具体的な方法は本文で述べる)。しばしば統計や分析、測定を行う際に用いられる。重み関数は、離散的な場合と連続な場合があってよい。単に重みと表現することがある。離散的な場合とくに、重みと呼ぶことが多い。

離散的な

一般的な定義

対象が離散的な場合、重み関数 $\scriptstyle w:A\to {\mathbb {R}}^{+}$ は離散的に定義された正の関数になる。ここで集合 $A$ は典型的には有限かつ可算である。

重み関数 $w(a):=1$ は、全ての要素に対して重みが等しい、すなわち、重みなしに相当する。この重みはさまざまな概念に適用できる。

もし、関数 $\scriptstyle f:A\to {\mathbb {R}}$ が実数の関数で与えられるならば $A$ における重みなしの $f$ の総和は次のように定義される。

\sum _{a\in A}f(a)

;

しかし、もし重み関数 $\scriptstyle w:A\to {\mathbb {R}}^{+}$ が与えられれば、 重みつき総和は次のように与えられる。

\sum _{a\in A}f(a)w(a)

.

よく使われる応用としては、数値積分において重みつきの総和をとる例があげられる。これは、離散空間で相互相関、または畳み込みを計算することと等価である。

もしAが有限な空でない集合ならば、重みなし平均は以下のようになる。

{\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)

加重平均は以下のように与えられる。

{\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.

統計

重みつき平均は統計で偏りを補償するためにしばしば用いられる。統計量 $f$ の複数の独立した測定値 $f_{i}$ がそれぞれ $\scriptstyle \sigma _{i}^{2}$ の分散をもっているとき、もっともらしい平均値は次のような重みを用いて得られ、

\scriptstyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}

,

平均値の分散は、それぞれの測定の分散よりも小さくなる。

\scriptstyle \sigma ^{2}=1/\sum w_{i}

最尤法は、フィットとデータの差に同じ重み関数 $w_{i}$ を掛ける。

力学

The terminology weight function arises from mechanics: if one has a collection of $n$ objects on a lever, with weights $\scriptstyle w_{1},\ldots ,w_{n}$ (where weight is now interpreted in the physical sense) and locations : $\scriptstyle {\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$ , then the lever will be in balance if the fulcrum of the lever is at the center of mass

{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}

,

which is also the weighted average of the positions $\scriptstyle {\boldsymbol {x}}_{i}$ .

Continuous weights

In the continuous setting, a weight is a positive measure such as $w(x)dx$ on some domain $\Omega$ ,which is typically a subset of an Euclidean space $\scriptstyle {\mathbb {R}}^{n}$ , for instance $\Omega$ could be an interval $[a,b]$ . Here $dx$ is Lebesgue measure and $\scriptstyle w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+}$ is a non-negative measurable function. In this context, the weight function $w(x)$ is sometimes referred to as a density.

General definition

If $f:\Omega \to {\mathbb {R}}$ is a real-valued function, then the unweighted integral

\int _{\Omega }f(x)\ dx

can be generalized to the weighted integral

\int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx

Note that one may need to require $f$ to be absolutely integrable with respect to the weight $w(x)dx$ in order for this integral to be finite.

Weighted volume

If E is a subset of $\Omega$ , then the volume vol(E) of E can be generalized to the weighted volume

\int _{E}w(x)\ dx

.

Weighted average

If $\Omega$ has finite non-zero weighted volume, then we can replace the unweighted average

{\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx

by the weighted average

{\frac {\int _{\Omega }f(x)\ w(x)dx}{\int _{\Omega }w(x)\ dx}}

Inner product

If $\scriptstyle f:\Omega \to {\mathbb {R}}$ and $\scriptstyle g:\Omega \to {\mathbb {R}}$ are two functions, one can generalize the unweighted inner product