利用者:Geld.F/sandbox/加法
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初等的な算術としての加法
[編集]1桁の自然数の加法
[編集]次の表のようになる。
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 7 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 8 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| 9 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
2桁以上の自然数の加法
[編集]小数の加法
[編集]分数の加法
[編集]負の数を含む加法
[編集]形式的な定義
[編集]自然数
[編集]整数
[編集]負の整数を含む加法については、先述の「負の数を含む加法」に従って定義すればよい。
整数の異なる定義の仕方としては、N2 上で定義される同値関係 ~:(m, n) ~ (m', n') ⇔ m + n' = m' + nによる商集合 N2/~ を整数全体の集合とみなすものがある。ここで、 (m, n) は m - n を意味している。このとき、
と定義すれば、この定義は先述の定義と一致する。
有理数
[編集]形式的に
と定義される。
実数
[編集]実数の構成法にはデデキント切断を用いるものとコーシー列を用いるものがあるが、いずれの方法で定義された加法も同値となる。
デデキント切断による構成
[編集]コーシー列による構成
[編集](an)n, (bn)n をそれぞれ有理数上で定義されたコーシー列とする。このとき、 (an + bn)n もコーシー列である。また、(an)n ~ (bn)n ⇔ limn→∞(an − bn) = 0 として同値関係 ~ を定めれば、
複素数
[編集]一般化された加法
[編集]合同算術
[編集]ベクトル
[編集]行列・テンソル
[編集]関数
[編集]p-進数
[編集]濃度
[編集]一般に濃度における加法では消去律が成り立たない。
順序数
[編集]一般に順序数における加法では可換律が成り立たない。