(en:Analytic torsion oldid=705884938)
M をリーマン多様体、E を M 上のベクトル束とすると、E に値をとる i 形式に対して作用するラプラシアン Δi が存在するので、この固有値を λj とおく。ここで、十分大きな s に対しゼータ関数 ζi を次のように定義する。この関数は任意の複素数 s へ解析接続できる。
Δi の行列式のゼータ正規化は次のようになる。これは形式的には、Δi の正の固有値 λj の積となっている。
このとき、解析的トーション T (M, E) は次のように定義される。
X を有限かつ連結なCW複体とし、基本群 π := π1(X) と普遍被覆 ~X を持つとする。また U を X の有限次元直交 π 表示とし、さらに任意の n に対して次のようにおく。
(de:Analytische Torsion oldid=143957370)
M をリーマン多様体、ρ : π1M → O (N) を基本群の直交表現とすると、普遍被覆上への基本群の作用によって鎖複体 は非輪状となる。
ρ に随伴する平坦ベクトル束 E は、微分形式 Λq (M, E) 上に作用するホッジ・ラプラシアン Δq が定める計量と両立する。ここで Δq の固有値を λj とし、Re(s) > N/2 に対して次のようにゼータ関数 ζq を定める。これは任意の s ∈ C へ解析接続できる。
また、Δq の行列式のゼータ正規化は次のようになる。
このとき、解析的トーションは次のように定められる。
これは次の式と同値である。