利用者:Flightbridge/sandbox/熱方程式

（en:Heat equation oldid=725320781）

熱方程式（ねつほうていしき、英: heat equation）または熱伝導方程式（ねつでんどうほうていしき）とは、与えられた領域において時間とともに起こる熱の拡散（または温度変化）を記述する放物型偏微分方程式である。

方程式の主張

三つの空間変数 (x, y, z) （直交座標を参照）と時間変数 t からなる関数 u(x, y, z, t) に対して、熱方程式は次のように与えられる。

${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=0$

より一般に、任意の座標系における熱方程式は次のように与えられる。

${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha \nabla ^{2}u=0$

ここで α は正の定数、また Δ および ∇² はラプラス作用素である。温度変化に関する物理学上の問題において、u(x, y, z, t) は温度、α は温度拡散率と呼ばれる。数学的な取り扱いを簡単にするため、α = 1 の場合について考える。

加えて、熱力学第一法則（エネルギー保存の法則）により与えられる状態方程式は、物質移動と放射がないとする仮定のもと次のように書き下される。この式の形は先のものと比べより一般的なものとなっており、また特に各特性（c_p, ρ など）がどの項へ影響を及ぼしているかを見分ける上で役に立つ。

$\rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)={\dot {q}}_{V}$

ここで ${\dot {q}}_{V}$ は体積熱流束である。

熱方程式は、科学の様々な領域において根本的な重要性を持つ。数学においては、熱方程式は典型的な放物型偏微分方程式である。確率論においては、フォッカー・プランク方程式を介してブラウン運動の研究との繋がりを持つ。数理ファイナンスにおいては、ブラック・ショールズ偏微分方程式を解くのに用いられる。

熱方程式のより一般的なものとして拡散方程式がある。これは、化学拡散およびその他関連する過程の研究との間の関係として浮かび上がってくるものである。

概要

与えられた地点 (x, y, z) における温度を記述する関数 u を考える。時間とともに熱が空間中に拡散していくと、それに連れてこの関数も変化していく。熱方程式は、この時間とともに起こる関数 u の変化を決定するために用いられる。u の変化率は、u の「曲率」に比例する。それゆえ角が鋭ければ鋭いほど、角が丸まるのが早くなる。時間とともに、山となる部分は侵食が進み、谷となる部分は埋められていく傾向がある。u が空間の与えられた点において線型（傾きが定数）ならば、u は定常状態に達しておりこの点において不変である（ただし熱伝導率は定数と仮定する）。