（en:Sophomore's Dream - oldid=698058241 ）
二年生の夢 （にねんせいのゆめ、英 : sophomore's dream ）とは、しばしば次の恒等式（特に一番目）を指して使われる語である。
∫
0
1
1
x
x
d
x
=
∑
n
=
1
∞
1
n
n
(
=
1.29128599706266354040728259059560054149861936827
…
)
∫
0
1
x
x
d
x
=
−
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
−
n
(
=
0.78343051071213440705926438652697546940768199014
…
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{x}}}\,\mathrm {d} x&=\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}&&(\scriptstyle {=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots })\\\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(\scriptstyle {=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots })\end{aligned}}}
これは1697年にヨハン・ベルヌーイ によって明らかにされた。
この名前は一年生の夢 と対照的に付けられた名前である(Borwein, Bailey & Girgensohn 2004 )。 一年生の夢とは、初歩的な誤りを犯した[ 1] x + y )n xn + yn を表す語であり、二年生の夢もこれと同じように「出来過ぎた」形をした式となっている。ただし一年生の夢と異なり、二年生の夢は実際に成り立つ式である。
区間 x ∈ (0, 1] における y = x x y = x −x のグラフ。 一番目の式の証明は二番目の式と同様であるため、二番目の式を証明する。
ex の冪級数 展開を用いて、xx を次のように展開する。
x
x
=
e
x
log
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
(
log
x
)
n
n
!
{\displaystyle x^{x}=e^{x\log x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}}
ここから、与式の左辺は次のようになる。
∫
0
1
x
x
d
x
=
∫
0
1
∑
n
=
0
∞
x
n
(
log
x
)
n
n
!
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}{\,\mathrm {d} }x=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}{\,\mathrm {d} }x}
この級数は一様収束 なので、和と積分の順序を交換できる。
∫
0
1
∑
n
=
0
∞
x
n
(
log
x
)
n
n
!
d
x
=
∑
n
=
0
∞
∫
0
1
x
n
(
log
x
)
n
n
!
d
x
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
∫
0
1
x
n
(
log
x
)
n
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}{\,\mathrm {d} }x&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}{\,\mathrm {d} }x\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}{x^{n}(\log x)^{n}}{\,\mathrm {d} }x\end{aligned}}}
ここで、x = e -u / (n + 1) (0 < u < ∞) による次のような置換積分 を考える。
∫
0
1
x
n
(
log
x
)
n
d
x
=
(
−
1
)
n
(
n
+
1
)
−
(
n
+
1
)
∫
0
∞
u
n
e
−
u
d
u
{\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{n}(\log x)^{n}}{\,\mathrm {d} }x=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int _{0}^{\infty }{u^{n}e^{-u}}{\,\mathrm {d} }u}
この右辺の定積分は第二種オイラー積分
∫
0
∞
u
n
e
−
u
d
u
=
n
!
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{u^{n}e^{-u}}{\,\mathrm {d} }u=n!}
であるから、次のようになる。
1
n
!
∫
0
1
x
n
(
log
x
)
n
d
x
=
(
−
1
)
n
(
n
+
1
)
−
(
n
+
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}{x^{n}(\log x)^{n}}{\,\mathrm {d} }x=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}}
ゆえに
∫
0
1
x
x
d
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
n
+
1
)
−
(
n
+
1
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
(
−
n
)
◻
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{x}{\,\mathrm {d} }x&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{(-n)}\qquad \square \end{aligned}}}
元々の証明は Bernoulli (1697) において与えられ、のちに現代的な証明が Dunham (2005) において与えられた。これらの証明の違いは項別積分
∫
0
1
x
n
(
log
x
)
n
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,\mathrm {d} x}
の計算方法であり、このような（項別積分などの）過程の細かい差異を除けば同じである。上述の証明では置換積分によってガンマ関数を括りだす方法で計算をしているが、当時はまだガンマ関数 は知られておらず、ベルヌーイ は部分積分 を繰り返し適用する方法で計算した。
再帰的な関係を明らかにするため二つの指数をそれぞれ別の文字で表し、次のように部分積分を行う（対数関数の原始関数の一覧 を参照）。まず不定積分の計算から始めるが、積分定数 + C は定積分の計算の際に消えることから、元々の証明においても省略して計算が行われた。
∫
x
m
(
ln
x
)
n
d
x
=
x
m
+
1
(
ln
x
)
n
m
+
1
−
n
m
+
1
∫
x
m
+
1
(
ln
x
)
n
−
1
x
d
x
(
m
≠
−
1
)
=
x
m
+
1
m
+
1
(
ln
x
)
n
−
n
m
+
1
∫
x
m
(
ln
x
)
n
−
1
d
x
(
m
≠
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}(\ln x)^{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m+1}{\frac {(\ln x)^{n-1}}{x}}\,\mathrm {d} x\qquad (m\neq -1)\\&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}(\ln x)^{n}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}\,\mathrm {d} x\qquad (m\neq -1)\end{aligned}}}
これにより ln x の指数が 1 減る（n → n − 1n は整数であるから、これを繰り返すと有限回で ln x の指数が 0 となり、単なる xm の積分となって終了する。ゆえにこの積分は次のような有限和となる。
∫
x
m
(
ln
x
)
n
d
x
=
x
m
+
1
m
+
1
⋅
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
(
n
)
i
(
m
+
1
)
i
(
ln
x
)
n
−
i
{\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(m+1)^{i}}}(\ln x)^{n-i}}
ただし (n )i は下降階乗冪 （ポッホハマー記号 ）である。
ここで m = n
∫
x
n
(
ln
x
)
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
⋅
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
(
n
)
i
(
n
+
1
)
i
(
ln
x
)
n
−
i
{\displaystyle \int x^{n}(\ln x)^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(n+1)^{i}}}(\ln x)^{n-i}}
0 から 1 まで積分すると、右辺の和は最後の項を除いてすべて消滅[ 2]
1
n
!
∫
0
1
x
n
(
ln
x
)
n
d
x
=
1
n
!
1
n
+
1
n
+
1
(
−
1
)
n
(
n
)
n
(
n
+
1
)
n
=
(
−
1
)
n
(
n
+
1
)
−
(
n
+
1
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x^{n}(\ln x)^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{n!}}{\frac {1^{n+1}}{n+1}}(-1)^{n}{\frac {(n)_{n}}{(n+1)^{n}}}=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.}
現代的な観点から言えば、これは（縮尺の違いを除いて）異なる積分区間で第二種オイラー積分 の計算をしているのに等しい。第二種オイラー積分 自体も上と似たような手続きで計算することができる。
^ ただし標数が素数の冪であるような体 および単位的 可換環 では成立する。これの正しい解答は二項定理 となる。
^ ロピタルの定理 より
lim
x
→
0
+
x
m
(
ln
x
)
n
=
0
{\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{m}(\ln x)^{n}\,=\,0}
0 のとき全ての項が消滅する（ベルヌーイはこの詳細を省いた）。また ln 1 = 0 であるから、1 のとき最後の項を除いて全て消滅する。
Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381
Borwein, Jonathan; Bailey, David H.; Girgensohn, Roland (2004), Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery , pp. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9 Dunham, William (2005), “3: The Bernoullis (Johann and
x
x
{\displaystyle x^{x}}
The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue , Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 46–51, ISBN 978-0-691-09565-3 OEIS , オンライン整数列大辞典 の数列 A083648 and オンライン整数列大辞典 の数列 A073009 Pólya, George; Szegő, Gábor (1998), “part I, problem 160”, Problems and Theorems in Analysis , p. 36 , ISBN 978-3-54063640-3 Weisstein, Eric W. "Sophomore's Dream" . mathworld.wolfram.com (英語).
Literature for x^x and Sophomore's Dream , Tetration Forum, 03/02/2010The Coupled Exponential ,Sophomore's Dream Function , Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.Lehmer, D. H. (1985). “Numbers associated with Stirling numbers and x x Rocky Mountain Journal of Mathematics 15 : 461. doi :10.1216/RMJ-1985-15-2-461 . Gould, H. W. (1996). “A Set of Polynomials Associated with the Higher Derivatives of y = x x Rocky Mountain Journal of Mathematics 26 : 615. doi :10.1216/rmjm/1181072076 .
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