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利用者:Flightbridge/sandbox/三次方程式

en:Cubic function oldid=705476648

代数的解法

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解の公式

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一般的な三次方程式

の解 xk は、これら係数によって次のように表される。[1]

ここで uk はそれぞれ 1 の三乗根

であり、C

 (#特別な場合を参照)

であり、Δ0, Δ1

であり、このとき

となる(Δは#根の様子判別式)。

これらの式の平方根 および立方根 3 には、それぞれ複数あるうちのどれを選んでもよい。平方根を選び替えることは x2x3 を交換することに等しく、立方根を選び替えることは解を巡回置換することに等しい。従って、平方根と立方根の選択の自由度は解に番号を振る自由度に等しい。

今から数世紀前、ジェロラモ・カルダーノはこれと似たような式を提案した。この式は今日多くの教科書で見ることができる。

ここで C

であり、ukuk複素共役である。またこのとき CC = Δ0 となる。

ただし、この式はこのままでは係数 a, b, c, d がすべて実数であって、かつ式中の平方根の中身(= Δ12 - 4Δ03)が非負であるような場合にしか適用できず、少々の説明を必要とする。平方根の中身が非負かつ実数であれば、その値を正の平方根として求めることができ、また式中の立方根には実数が定まることになる。そうでない場合、

特別な場合

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二次の項の消去

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カルダノの方法

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以下の解法はシピオーネ・デル・フェッロタルタリアにより発見され、1545年にジェロラモ・カルダーノが発表したものである。

  1. ^ Press, William H.; Vetterling, William T. (1992). Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. p. 179. ISBN 0-521-43064-X. http://books.google.com/?id=gn_4mpdN9WkC  Extract of page 179