利用者:Flightbridge/sandbox/一年生の夢

一年生の夢（英: freshman's dream）とは、実数 $n$ （通常は 1 より大きい整数）に対する次の誤りを指してしばしば用いられる語である。

(x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}

これは、実数の和の冪を求める際によく初学者が起こす誤りである。正しく計算するには分配法則を用いればよく、例として $n = 2$ の場合は次のようにして求められる。

(x+y)^{2}=(x+y)x+(x+y)y=x^{2}+2xy+y^{2}

一般に $(x + y) n$ の展開は二項定理に従う。

「一年生の夢」という語は次の定理を指して用いられることもある。これは、 $p$ が最初と最後を除いた全ての二項係数を割り切ることによる。

定理 ― $p$ を素数、 $x$ , $y$ を標数 $p$ の可換環の元とするとき

(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}

が成り立つ。

例

$(1 + 4) 2 = 5 2 = 25$ だが $12 + 4 2 = 17$ である。
$\sqrt x 2 + y 2$ は一般に $\sqrt x 2 + \sqrt y 2$ （または $| x | + | y |$ ）と等しくない。実際、 $\sqrt 32 + 4 2 = \sqrt 25 = 5$ だが $3 + 4 = 7$ である。

素数標数

$p$ が素数、 $x$ , $y$ が標数 $p$ の可換環の元ならば、 $(x + y) p = x p + y p$ が成り立つ。このことは各二項係数の素因数を調べることで確認できる。

$n$ 番目の二項係数 $p C n$ は次のように表される。

{_{p}{\mathrm {C} }_{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}

この分子は $p$ の階乗なので $p$ を素因数として持つ。ここで $0 < n < p$ のとき、分母は $p$ を素因数に持たない^[1]ので $p C n$ は $p$ の倍数となり、今考えている環において 0 に等しくなる。また $n = 0, p$ のとき二項係数は 1 に等しいので、 $(x + y) p$ を展開すると最初と最後を除く全ての項が消え $x p + y p$ を得る。

従って標数 $p$ において一年生の夢は正しい恒等式となる。

歴史と別名

脚注

^ $p$ は素数なので、 $0 < n < p$ のとき $n!$ と $(p - n)!$ はいずれも素因数に $p$ を持たない。

[1] $p$ は素数なので、 $0 < n < p$ のとき $n!$ と $(p - n)!$ はいずれも素因数に $p$ を持たない。

[1]

例

素数標数

歴史と別名

関連項目

脚注