利用者:Flightbridge/sandbox/ジューガ数
(en:Giuga number oldid=713381809)
ジュガ数(英: Giuga number)とは、合成数 n のうち、その全ての素因数 p について を満たす[1]ものをいう。この名称は数学者ジュゼッペ・ジュガに因んだものである。
定義
[編集]次は吾郷孝視によるジュガ数の定義である。
次はジュゼッペ・ジュガによる同値な定式化である。
ここで式 3 について、全ての既知のジュガ数はより強い次の条件を満たす。
例
[編集]ジュガ数は小さい方から次のように並ぶ。
- 30, 858, 1722, 66198, 2214408306, … オンライン整数列大辞典の数列 A007850
例として、30 がジュガ数であることは、素因数が 2, 3, 5 であることから次のように確かめられる。
- 30/2 − 1 = 14 、これは 2 で割り切れる。
- 30/3 − 1 = 9 、これは 3 で割り切れる。
- 30/5 − 1 = 5 、これは 5 で割り切れる。
性質
[編集]ジュガ数の素因数はすべて相異なる必要がある。もし n が p2 で割り切れる場合、n/p が p で割り切れるので n/p − 1 は p で割り切れず、n はジュガ数とはならない。ゆえに、全てのジュガ数は平方因子を持たない整数である。
この規則により素数の平方が除外されるが、加えて半素数もジュガ数とはならない。もし n が半素数 p1p2 (p1 < p2) である場合、n/p2 − 1 = p1 − 1 < p2 より n/p2 − 1 が p2 で割り切れないためである。
ジュガ数は無限に存在するか? | ![]() |
全ての既知のジュガ数は偶数である。もし奇数のジュガ数が存在するならば、少なくとも 14 個の素因数を持つ必要がある。ジュガ数が無限に存在するかどうかは知られていない。
Paolo P. Lava (2009) により「ジュガ数は微分方程式 n′ = n + 1 の解となる(但し n′ は n の算術微分)」と予想された。この n′ = n + 1 は式 4 の両辺を n 倍したものに等しい[2]。
José Mª Grau と Antonio Oller-Marcén により「整数 n がジュガ数であることは、n′ = an + 1 を満たす整数 a > 0 が存在することと同値である」ことが示された。この n′ = an + 1 は式 3 の両辺を n 倍したものに等しい[2]。
関連項目
[編集]脚注
[編集]参考文献
[編集]- Weisstein, Eric W. "Giuga Number". mathworld.wolfram.com (英語).
- Borwein, D.; Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Girgensohn, R. (1996). “Giuga's Conjecture on Primality”. American Mathematical Monthly 103: 40–50. doi:10.2307/2975213. Zbl 0860.11003 .
- Balzarotti, Giorgio; Lava, Paolo P. (2010). Centotre curiosità matematiche. Milan: Hoepli Editore. p. 129. ISBN 978-88-203-4556-3
{@{デフォルトソート:しゆかすう}} [@[Category:数学に関する記事]] [@[Category:整数の類]] [@[Category:数学のオープンプロブレム]]