利用者:Flightbridge/sandbox/ジューガ数

（en:Giuga number oldid=713381809）

ジュガ数（英: Giuga number）とは、合成数 $n$ のうち、その全ての素因数 $p$ について $p|\left({\frac {n}{p}}-1\right)$ を満たす^[1]ものをいう。この名称は数学者ジュゼッペ・ジュガに因んだものである。

定義

次は吾郷孝視によるジュガ数の定義である。

定義 ― 合成数 $n$ がジュガ数であることは、 $n$ が合同式

nB_{\phi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}

(1)

を満たすことと同値。但し $B$ はベルヌーイ数、 $φ (n)$ はオイラーのトーシェント関数である。

次はジュゼッペ・ジュガによる同値な定式化である。

定義 ― 合成数 $n$ がジュガ数であることは、合同式

\sum _{i=1}^{n-1}i^{\phi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}

(2)

と同値。また

\sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}\in \mathbf {N}

(3)

とも同値。

ここで式 3 について、全ての既知のジュガ数はより強い次の条件を満たす。

\sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}=1

(4)

例

ジュガ数は小さい方から次のように並ぶ。

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, … オンライン整数列大辞典の数列 A007850

例として、30 がジュガ数であることは、素因数が 2, 3, 5 であることから次のように確かめられる。

$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}30/2 − 1 = 14$ 、これは 2 で割り切れる。
$30 / 3 - 1 = 9$ 、これは 3 で割り切れる。
$30 / 5 - 1 = 5$ 、これは 5 で割り切れる。

性質

ジュガ数の素因数はすべて相異なる必要がある。もし $n$ が $p 2$ で割り切れる場合、 $n / p$ が $p$ で割り切れるので $n / p - 1$ は $p$ で割り切れず、 $n$ はジュガ数とはならない。ゆえに、全てのジュガ数は平方因子を持たない整数である。

この規則により素数の平方が除外されるが、加えて半素数もジュガ数とはならない。もし $n$ が半素数 $p 1 p 2 (p 1 < p 2)$ である場合、 $n / p 2 - 1 = p 1 - 1 < p 2$ より $n / p 2 - 1$ が $p 2$ で割り切れないためである。

数学上の未解決問題
ジュガ数は無限に存在するか？

全ての既知のジュガ数は偶数である。もし奇数のジュガ数が存在するならば、少なくとも 14 個の素因数を持つ必要がある。ジュガ数が無限に存在するかどうかは知られていない。

Paolo P. Lava (2009) により「ジュガ数は微分方程式 $n' = n + 1$ の解となる（但し $n'$ は $n$ の算術微分（英語版））」と予想された。この $n' = n + 1$ は式 4 の両辺を $n$ 倍したものに等しい^[2]。

José Mª Grau と Antonio Oller-Marcén により「整数 $n$ がジュガ数であることは、 $n' = a n + 1$ を満たす整数 $a > 0$ が存在することと同値である」ことが示された。この $n' = a n + 1$ は式 3 の両辺を $n$ 倍したものに等しい^[2]。