(en:Omega constant oldid=743452100)
オメガ定数(英: omega constant)とは、次式で定義される数学定数である。
![{\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b34d5ebe858f48e4e6ced4c81ff42b8e90f737e)
定義から、Ω は W(1) (ランベルトのW関数)に等しい。「オメガ定数」という名前は、ランベルトのW関数の別名である「オメガ関数」に由来するものである。この値はおよそ次のようになる。
- 0.5671432904097838729999686622... オンライン整数列大辞典の数列 A030178
定義の式 ΩeΩ = 1 は次のように表すこともできる。
![{\displaystyle \ln({\tfrac {1}{\Omega }})=\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8208e51701342e1742627921e04d6efd858309a)
![{\displaystyle -\ln(\Omega )=\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d4470357842b5c12ac37e8b15db7df17aa3d00)
![{\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8723e7436d2637f66c8a9adf6e55649c6ddd4324)
ヴィクトル・アダムチクは次のような美しい恒等式を与えた。
![{\displaystyle \displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\,dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\dfrac {1}{1+\Omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6602127945a49c29846733d5361f7459d054741)
この式は次のようにも書ける。
![{\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {\,dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ece0e9df62b64be4dde22e5cf3b4c874d270246)