利用者:Clusternote/Sandbox

ジョン・チャウニングによって提案されたFM合成は、正弦波同士を周波数変調させて音色を作る合成方式である。^[1]^{[注釈 1]}

注釈

^ Chowning 1973 の表式(1) は、下記のように周波数変調と等価であることが確認できる。

$e=A\sin(at+I\sin \beta t)$ (1)
c = carrier frequency or average frequency

m = modulatiing frequency

d = peak deviation.

e = the instantaneous amplitude of the modulated carrier

β= the modulating frequency in rad/s [引用注: $\beta =2\pi \,m$ ]

I = d/m = the modulation index,
the ratio of the peak deviation to the modulating frequency.

[引用注: $I=d/m=2\pi \,d/\beta$ ]
変調信号 $m(t)=D\,\sin(\beta \,t)\,$ による周波数変調は
${\begin{aligned}FM(t)&\ =\ A\,\sin \left(\,\int _{0}^{t}\left(a+D\,\sin(\beta \,\tau )\right)d\tau \right)\\&\ =\ A\,\sin \left(a\,t-{\frac {D}{\beta }}\left(\cos(\beta \,t)-1\right)\right)\\&\ =\ A\,\sin \left(a\,t+{\frac {D}{\beta }}\left(\sin(\beta \,t-\pi /2)+1\right)\right)\\&\ =\ A\,\sin \left(a\,t+{\frac {D}{\beta }}\left(\sin(\beta \,t+\phi _{m})+\phi _{c}\right)\right)\\\end{aligned}}$ (2)
となり、 $I=d/m=2\pi \,d/\beta$ なので $D=2\pi \,d$ とし、初期位相 $\phi _{c}$ , $\phi _{m}$ を省略すれば、式(2)の結果は式(1)と等しくなる。
${\begin{aligned}FM(t)&\ =\ A\,\sin \left(a\,t+I\,(\sin(\beta \,t))\right)\\\end{aligned}}$
(補足: 周波数変調は信号処理において、(2)式のように「変調信号(瞬時周波数)の時間積分」結果による位相変調として表現するのが適切であり、その事自体は「周波数変調ではない」とする根拠とはならない)
以上により、原論文 Chowning 1973 は周波数変調を適切に扱っている事が確認できた。

出典

^ Chowning, J. (1973). “The Synthesis of Complex Audio Spectra by Means of Frequency Modulation”. Journal of the Audio Engineering Society 21 (7).

[2] Chowning 1973 の表式(1) は、下記のように周波数変調と等価であることが確認できる。

$e=A\sin(at+I\sin \beta t)$ (1)
c = carrier frequency or average frequency

m = modulatiing frequency

d = peak deviation.

e = the instantaneous amplitude of the modulated carrier

β= the modulating frequency in rad/s [引用注: $\beta =2\pi \,m$ ]

I = d/m = the modulation index,
the ratio of the peak deviation to the modulating frequency.

[引用注: $I=d/m=2\pi \,d/\beta$ ]
変調信号 $m(t)=D\,\sin(\beta \,t)\,$ による周波数変調は
${\begin{aligned}FM(t)&\ =\ A\,\sin \left(\,\int _{0}^{t}\left(a+D\,\sin(\beta \,\tau )\right)d\tau \right)\\&\ =\ A\,\sin \left(a\,t-{\frac {D}{\beta }}\left(\cos(\beta \,t)-1\right)\right)\\&\ =\ A\,\sin \left(a\,t+{\frac {D}{\beta }}\left(\sin(\beta \,t-\pi /2)+1\right)\right)\\&\ =\ A\,\sin \left(a\,t+{\frac {D}{\beta }}\left(\sin(\beta \,t+\phi _{m})+\phi _{c}\right)\right)\\\end{aligned}}$ (2)
となり、 $I=d/m=2\pi \,d/\beta$ なので $D=2\pi \,d$ とし、初期位相 $\phi _{c}$ , $\phi _{m}$ を省略すれば、式(2)の結果は式(1)と等しくなる。
${\begin{aligned}FM(t)&\ =\ A\,\sin \left(a\,t+I\,(\sin(\beta \,t))\right)\\\end{aligned}}$
(補足: 周波数変調は信号処理において、(2)式のように「変調信号(瞬時周波数)の時間積分」結果による位相変調として表現するのが適切であり、その事自体は「周波数変調ではない」とする根拠とはならない)
以上により、原論文 Chowning 1973 は周波数変調を適切に扱っている事が確認できた。

[Chowning1973-1] Chowning, J. (1973). “The Synthesis of Complex Audio Spectra by Means of Frequency Modulation”. Journal of the Audio Engineering Society 21 (7).

[1]

[注釈 1]