利用者:Chrollo966/順序理論

順序理論とは、順序という直観的な概念を二項関係を用いて研究する数学の分野である。順序理論により、「これはそれより小さい」とか「これはそれを上回る」といった主張を記述する形式的枠組みが与えられる。この記事では、この分野を紹介し、基本的な定義を与える。順序理論の用語の一部は、順序理論の用語集に記載されている。

背景と動機

順序は、数学や、計算機科学のような関連分野のあらゆるところに現れる。まず考えられる順序は、「2は3より小さい」「10は5より大きい」「トムの持つクッキーはサリーより少ないか？」といった、小学校でよく触れるような自然数上の通常の順序である。この直観的な概念は、整数や実数といった数以外の集合上の順序に拡張できる。他の数字より大きい・小さいといった考え方は、（通常の場合、2つの数字の実際の差に興味があり、それは順序によって与えられるわけではないとしても）、一般的に（命数法に比べて）数の体系における基本的な直観の一つである。その他、順序の身近な例には、辞書における語の辞書式順序や、人の集団における直系の親族による系譜学的属性がある。

順序の概念は非常に一般的であり、列や相対量に対する素朴で直観的な感覚を拡張するものである。他の文脈においては、順序は、抑制や専門化といった概念を捉えうる。抽象的には、このような形式の順序は結局のところ集合の包含関係である。つまり、「小児科医は医師であり」、「円はただの楕円の特別な場合である」。

自然数における「より小さい」とか、語の辞書式順序といったある種の順序は特別な性質を持つ：どの要素も他の要素と比較することができる、すなわち、その要素はより小さい（より前である）か、より大きい（より後である）か、一致する。しかし、他の順序でそうではない。例として、集合の族に対して、包含関係による順序を考える：鳥の集合と犬の集合はいずれも動物の集合の部分集合であるが、鳥の集合も犬の集合も互いに部分集合を成すことはない。「の部分集合である」関係のように比較不能な元が存在する順序は、半順序と呼ばれる；任意の元のペアが比較可能である順序は全順序という。

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