利用者:Biofermin1974/ディリクレの畳み込み積

In mathematics, the Dirichlet convolution (or divisor convolution) is a binary operation defined for arithmetic functions; it is important in number theory. It was developed by Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

数学におけるディリクレの畳み込み(または約数畳み込み)とは算術関数について定義される二項演算であり、数論で重要である。これを発展させたのはペーター・グスタフ・ディリクレである。

定義

If $f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ are two arithmetic functions from the positive integers to the complex numbers, the Dirichlet convolution f ∗ g is a new arithmetic function defined by:

$f,g:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ が自然数から複素数への算術関数であるとき、ディリクレの畳み込み $f*g$ は以下に定義される新しい算術関数である:

(f*g)(n)\ =\ \sum _{d\,\mid \,n}f(d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\ =\ \sum _{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b)

where the sum extends over all positive divisors d of n, or equivalently over all distinct pairs (a, b) of positive integers whose product is n.

ここでの和は $n$ のすべての正の約数 $d$ にわたって計算されるが、これは積が $n$ であるようなすべての正の整数の組 $(a,b)$ にわたる和に相当する。

This product occurs naturally in the study of Dirichlet series such as the Riemann zeta function. It describes the multiplication of two Dirichlet series in terms of their coefficients:

この積はリーマンゼータ関数のようなディリクレ級数の研究の中で自然にあらわれる。ディリクレ積は二つのディリクレ級数の積を係数の観点から描き出す:

\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)\ =\ \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).

特徴

The set of arithmetic functions forms a commutative ring, the Dirichlet ring, under pointwise addition, where f + g is defined by (f + g)(n) = f(n) + g(n), and Dirichlet convolution. The multiplicative identity is the unit function ε defined by ε(n) = 1 if n = 1 and ε(n) = 0 if n > 1. The units (invertible elements) of this ring are the arithmetic functions f with f(1) ≠ 0.

算術関数全体の集合はディリクレ環とよばれる可換環をなし、そこにおける和は $f+g$ を $(f+g)(n)=f(n)+g(n)$ で定義するという点ごとの和であり、積はディリクレの畳み込みである。乗法単位元はユニット関数 $\varepsilon$ であるが、その定義は $\varepsilon (n)={\begin{cases}1&(n=1)\\0&(n>1)\end{cases}}$ である。この環の単元(可逆元)は $f(1)\neq 0$ を満たす算術関数 $f$ である。

Specifically, Dirichlet convolution is associative,

特に、ディリクレの畳み込みは結合的であり、

(f*g)*h=f*(g*h),

distributive over addition

加法について分配法則がなりたち

f*(g+h)=f*g+f*h

,

commutative,

積について可換であり,

f*g=g*f

,

and has an identity element,

乗法単位元を持つ。

f*\varepsilon

=

\varepsilon *f=f

.

Furthermore, for each $f$ having $f(1)\neq 0$ , there exists an arithmetic function $f^{-1}$ with $f*f^{-1}=\varepsilon$ , called the Dirichlet inverse of $f$ .

さらに、 $f(1)\neq 0$ を満たすすべての $f$ について、 $f$ のディリクレ逆元と呼ばれる算術関数 $f^{-1}$ がただ一つ存在して $f*f^{-1}=\varepsilon$ である。

The Dirichlet convolution of two multiplicative functions is again multiplicative, and every not constantly zero multiplicative function has a Dirichlet inverse which is also multiplicative. In other words, multiplicative functions form a subgroup of the group of invertible elements of the Dirichlet ring. Beware however that the sum of two multiplicative functions is not multiplicative (since $(f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1$ ), so the subset of multiplicative functions is not a subring of the Dirichlet ring. The article on multiplicative functions lists several convolution relations among important multiplicative functions.

二つの乗法的関数のディリクレの畳み込みは再び乗法的であり、恒等的にゼロではないようなすべての乗法的関数はディリクレ逆元をもち、ディリクレ逆元も乗法的である。言い換えれば、乗法的関数全体はディリクレ環の可逆な元がなす群の部分群をなす。二つの乗法的関数の和は乗法的ではない(なぜならば $(f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1$ だから)ことに注意せよ。だから乗法的関数の部分集合はディリクレ環の部分環とはならない。乗法的関数についての論説は、重要な乗法的関数の間を関係づけるいくつかの畳み込みを列挙している。

Another operation on arithmetic functions is pointwise multiplication: fg is defined by (fg)(n) = f(n) g(n). Given a completely multiplicative function $h$ , pointwise multiplication by $h$ distributes over Dirichlet convolution: $(f*g)h=(fh)*(gh)$ . The convolution of two completely multiplicative functions is multiplicative, but not necessarily completely multiplicative.

算術関数についてのもう一つの操作として各点積がある。各点積 $fg$ は $(fg)(n)=f(n)g(n)$ で定義される。完全乗法的関数 $h$ があるとき、 $h$ による各点積はディリクレの畳み込みについて分配的である。つまり、 $(f*g)h=(fh)*(gh)$ である。二つの完全乗法的関数の畳み込みは乗法的であるが、必ずしも完全乗法的ではない。

例

In these formulas, we use the following arithmetical functions:

以下の式において、下記の算術関数を使う。

$\varepsilon$ is the multiplicative identity: $\varepsilon (1)=1$ , otherwise 0 ( $\varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor$ ).
$1$ is the constant function with value 1: $1(n)=1$ for all $n$ . Keep in mind that $1$ is not the identity. (Some authors denote this as $\zeta$ because the associated Dirichlet series is the Riemann zeta function.)
$1_{C}$ for $C\subset \mathbb {N}$ is a set indicator function: $1_{C}(n)=1$ iff $n\in C$ , otherwise 0.
${\text{Id}}$ is the identity function with value n: ${\text{Id}}(n)=n$ .
${\text{Id}}_{k}$ is the kth power function: ${\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}$ .

$\varepsilon$ 関数は乗法単位元である: $\varepsilon (1)=1$ , otherwise 0 ( $\varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor$ ).
$\mathbb {1}$ 関数は1を値とする定数関数である: すべての $n$ について $1(n)=1$ である。 $\mathbb {1}$ 関数は単位元ではないことに注意せよ。( $\mathbb {1}$ 関数を $\zeta$ と書く人もいるが、それは $\mathbb {1}$ 関数のディリクレ級数がリーマンゼータ関数そのものであるからだ。)
$C\subset \mathbb {N}$ に対する $1_{C}$ 関数は集合の特性関数である: $\mathbb {1} _{C}(n)={\begin{cases}1&(n\in C)\\0&(otherwise)\end{cases}}$ .
$Id$ 関数は $n$ を値とする恒等関数である: ${\text{Id}}(n)=n$ .
${\text{Id}}_{k}$ 関数は $k$ 乗関数である: ${\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}$ .

The following relations hold:

下記の関係がなりたつ:

$1*\mu =\varepsilon$ , the Dirichlet inverse of the constant function $1$ is the Möbius function. Hence:
$g=f*1$ if and only if $f=g*\mu$ , the Möbius inversion formula
$\sigma _{k}={\text{Id}}_{k}*1$ , the kth-power-of-divisors sum function σ_k
$\sigma ={\text{Id}}*1$ , the sum-of-divisors function σ = σ₁
$\tau =1*1$ , the number-of-divisors function τ(n) = σ₀
${\text{Id}}_{k}=\sigma _{k}*\mu$ , by Möbius inversion of the formulas for σ_k, σ, and τ
${\text{Id}}=\sigma *\mu$
$1=\tau *\mu$
$\phi *1={\text{Id}}$ , proved under Euler's totient function
$\phi ={\text{Id}}*\mu$ , by Möbius inversion
$\sigma =\phi *\tau$ , from convolving 1 on both sides of $\phi *1={\text{Id}}$
$\lambda *|\mu |=\varepsilon$ where λ is Liouville's function
$\lambda *1=1_{\text{Sq}}$ where Sq = {1, 4, 9, ...} is the set of squares
${\text{Id}}_{k}*({\text{Id}}_{k}\mu )=\varepsilon$
$\tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}$
$J_{k}*1={\text{Id}}_{k}$ , Jordan's totient function
$({\text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}$
$\Lambda *1=\log$ , where $\Lambda$ is von Mangoldt's function
$|\mu |\ast 1=2^{\omega },$ where $\omega (n)$ is the prime omega function counting distinct prime factors of n
$\Omega \ast \mu =1_{\mathcal {P}}$ , the characteristic function of the prime powers.
$\omega \ast \mu =1_{\mathbb {P} }$ where $1_{\mathbb {P} }(n)\mapsto \{0,1\}$ is the characteristic function of the primes.