利用者:紅い目の女の子/Generalizations of the derivative

微分の一般化(びぶんのいっぱんか)では、数学における微分の様々な一般化について記載する。数学において、微分は微分学の基本的な構成要素であり、解析学、数学的分析、組み合わせ数学、代数学、幾何学等の分野で様々な一般化が可能である。

解析学における微分

実解析や複素解析、関数解析では、導関数は、いくつかの実数または複素数を変数とする関数、あるいは線形位相空間の写像に一般化される。重要な例として、変分法における汎関数微分が挙げられる。微分を繰り返し適用することにより、高次導関数や微分作用素が導かれる。

多変数微積分

微分は、単一の実変数をとる単一の実関数に対する作用素として導入される。一般化の最も簡単な設定の1つは、変数をベクトルとして複数の変数をとるようにすることである（ほとんどの場合、定義域はベクトル空間を形成する）。これは多変数微積分の分野である。

一変数の微分において、関数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ がある点xで微分可能であるとは、極限

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

が存在することである。このとき、その極限値が導関数ƒ'(x)になる。また関数がある区間内の任意の点で微分可能である場合、その関数は区間で微分可能である。直線 $L(z)=f'(x)(z-x)+f(x)$ は点で元の関数ƒ(x)に接するから、導関数は関数に対する最良の線形近似と見なすことができる。定数項を無視する場合は、 $L(z)=f'(x)z$ となり、L(z)は、自身のベクトル空間と見なされるRにおける線形演算子となる。

解析学における微分

多変数微積分

関連項目