利用者:紅い目の女の子/対偶論法
論理学において、含意命題の対偶とは、条件をともに否定し、さらにその逆含意に変形したものである。明示的に書けば、命題「AならばBである」の対偶は、「BでないならばAでない」となる。通常、命題とその対偶の論理的な真偽は常に一致する。したがって、ある命題が真ならばその対偶も真であるし、偽の場合もしかりである[1]。
対偶論法(たいぐうろんぽう、 英:proof by contraposition)とは、証明で用いる推論規則の一つである。対偶論法では、対偶を用いて命題の真偽を推論する[2] 。言い方を変えると、「AならばBである」という結論を、「BでないならばAでない」から導く推論規則である。
例
[編集]x を任意の整数とする。
- 命題: x2が偶数ならば、xは偶数である。
この命題に直接証明を与えることはできるけれども、ここでは命題の対偶を証明することにする。上の命題の対偶は以下である。
- x が偶数でないならば、x2も偶数でない。
この命題は以下のように証明できる。xを偶数でないとする。その場合xは奇数である。2つの奇数の積は奇数であるから、x2= x·x も奇数になる。したがって、x2は偶数ではない。
対偶を証明したことで、元の命題も正しいと言えることになる[3]。
関連項目
[編集]参考文献
[編集]- ^ Regents Exam Prep, contrapositive Archived 2012-09-09 at Archive.is definition
- ^ Larry Cusick's (CSU-Fresno) How to write proofs tutorial
- ^ Franklin, J.; A. Daoud (2011). Proof in Mathematics: An Introduction. Sydney: Kew Books. ISBN 0-646-54509-4 (p. 50).
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