利用者:知識熊/sandbox/自然法則/初期の宇宙の温度

ここでは、ビッグバン直後の輻射優勢の時代の宇宙の温度 T を時刻 t の関数として導出する。

銀河系を宇宙の中心と仮定して、銀河系から宇宙の端までの距離を r とすると、宇宙の膨張にかかる力学的エネルギーの和は宇宙の膨張の速度による運動エネルギーと引力の和となるが、宇宙が漸近的に平坦であると仮定すると、力学的エネルギーの和は 0 になる。したがって、宇宙の膨張の速度を距離の時間微分 ·r、宇宙の全物質の質量を m、万有引力定数を G とすると

${\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}&={\tfrac {Gm^{2}}{r}}\\{\dot {r}}^{2}&={\tfrac {2Gm}{r}}\end{aligned}}$

となり、エネルギー密度 u と光速 c を用いて全物質の質量 m を

$m={\tfrac {4\pi r^{3}u}{3c^{2}}}$

と表すと

${\begin{aligned}{\dot {r}}^{2}&={\tfrac {8\pi Gr^{2}u}{3c^{2}}}\\\left({\tfrac {\dot {r}}{r}}\right)^{2}&={\tfrac {8\pi Gu}{3c^{2}}}\\{\tfrac {\dot {r}}{r}}&={\sqrt {\tfrac {8\pi Gu}{3c^{2}}}}\end{aligned}}$

となる。これにシュテファン＝ボルツマンの法則 u = 4σT⁴/c を代入すると

${\tfrac {\dot {r}}{r}}={\sqrt {\tfrac {32\pi G\sigma T^{4}}{3c^{3}}}}$

(1)

と表される。ただし、σ = 2π⁵k 4
B /15h³c² = π²k 4
B /60ħ³c² はシュテファン＝ボルツマン定数で、k_B はボルツマン定数、h はプランク定数、ħ はディラック定数である。

ここで、ウィーンの変位則を rT = const. として時間について全微分すると

${\begin{aligned}{\dot {r}}T+r{\dot {T}}&=0\\{\dot {r}}T&=-r{\dot {T}}\end{aligned}}$

となり、両辺を rT で割ると

${\tfrac {\dot {r}}{r}}=-{\tfrac {\dot {T}}{T}}$

となる。これにより(1)式は

${\begin{aligned}-{\tfrac {\dot {T}}{T}}&={\sqrt {\tfrac {32\pi G\sigma T^{4}}{3c^{3}}}}\\-{\tfrac {\dot {T}}{T^{3}}}&={\sqrt {\tfrac {32\pi G\sigma }{3c^{3}}}}\end{aligned}}$

となり、·T = dT/dt より −dT/T³ = √32πGσ/3c³dt なので、左辺を 0 から T まで、右辺を 0 から t まで積分すると

${\begin{aligned}-\int _{0}^{T}{\tfrac {\mathrm {d} T}{T^{3}}}&=\int _{0}^{t}{\sqrt {\tfrac {32\pi G\sigma }{3c^{3}}}}\mathrm {d} t\\{\tfrac {1}{2T^{2}}}&=t{\sqrt {\tfrac {32\pi G\sigma }{3c^{3}}}}\\2T^{2}&={\tfrac {1}{t}}{\sqrt {\tfrac {3c^{3}}{32\pi G\sigma }}}\\T^{2}&={\tfrac {1}{t}}{\sqrt {\tfrac {3c^{3}}{128\pi G\sigma }}}\\T&={\tfrac {1}{\sqrt {t}}}{\sqrt[{4}]{\tfrac {3c^{3}}{128\pi G\sigma }}}\end{aligned}}$

となる。

光速と万有引力定数およびシュテファン＝ボルツマン定数はそれぞれ2014CODATA推奨値で、c = 299792458 m/s, G = 6.67408(31)×10⁻¹¹ m³/(s²·kg), σ = 5.670367(13)×10⁻⁸ W/(m²·K⁴) なので、T = 1.51812×10¹⁰/√t となる。