ここではマクスウェルの方程式からローレンツ・ゲージ条件(英語版)を導く。
通常、マクスウェルの式は E を電場の強度、B を磁束密度、D を電束密度、H を磁場の強度、ρ を電荷密度、j を電流密度として、作用素 ∇ を用いて
![{\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})&=0\\\nabla \times {\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})+{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})}{\partial t}}&=0\\\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}(t,{\boldsymbol {x}})&=\rho (t,{\boldsymbol {x}})\\\nabla \times {\boldsymbol {H}}(t,{\boldsymbol {x}})-{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}(t,{\boldsymbol {x}})}{\partial t}}&={\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63fbe0965f7ea46a47b1b0ed8d6b9c829555ab4f)
と表記されるが、真空中ではE-B対応とE-H対応により、電束密度 D と電場 E 及び磁場の強度 H と磁束密度 B がそれぞれ
![{\displaystyle {\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}},~{\boldsymbol {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b2426209e971b3f4bcdd7194ec840926ac4bed)
と言う関係にある為、ベクトル解析の回転(「∇×」)と勾配(「∇」)及び発散(「∇·」)とラプラシアン(「∇²」)の演算子をそれぞれ
![{\displaystyle {\mathsf {rot}},~{\mathsf {grad}},~{\mathsf {div}},~\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/879c35798769238c6b36d1d506856f1488580bad)
と定義し、c2 = 1/μ0ε0 とすると
![{\displaystyle {\mathsf {div}}{\boldsymbol {B}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8b4b7d64ac8d439f4caf05561ae1be958e2838)
(1)
![{\displaystyle {\mathsf {rot}}{\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6c4881142a0dbb7fdcd12305920fcaef4e23c0)
(2)
![{\displaystyle {\mathsf {div}}{\boldsymbol {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9dfa931a4442abe2c213eca06ee23e39a2431c)
(3)
![{\displaystyle {\mathsf {rot}}{\boldsymbol {B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184b86c6ec048a92d67679d2517662ae6db1c9fd)
(4)
と表わせる。ここで、電磁ポテンシャル (φ, A) を用いて電場の強度 E と磁束密度 B をそれぞれ
![{\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-{\mathsf {grad}}\phi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}},~{\boldsymbol {B}}={\mathsf {rot}}{\boldsymbol {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c62936e03a2b09f32cc6fac4728b738d1595710)
と定義すると(1)式と(2)式は自明であるが、残りの2式は自明ではないので、これら2式を満たすように電磁ポテンシャルに条件を課さなければならない。
まず、(3)式に電場の強度の定義式を代入して
![{\displaystyle -{\mathsf {div}}({\mathsf {grad}}\phi )-{\mathsf {div}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\right)={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f3cefa211e3c1e9cc0c77f0d3072053f94ca2b)
より
![{\displaystyle -\Delta \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}({\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}})={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783fd069040a0b7f43311a76be62d5ef2646edb1)
となる。ここで、ダランベルシアンを
![{\displaystyle \Box =\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f8b1e857c13eda03ae448a5ad9a028d108a41f)
と定義して代入すると
![{\displaystyle -\Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}({\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}})-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea0bbfaf8f4b112a069bce58691d2ce1da0c1a2b)
より
![{\displaystyle \therefore \Box \phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92bb87fe89bc8173f0d1be1ba71d7ba261544e00)
(5)
となる。
また、(4)式に電場の強度と磁束密度の定義式を代入すると
![{\displaystyle {\mathsf {rot}}({\mathsf {rot}}{\boldsymbol {A}})=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\mathsf {grad}}\phi +{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d97a3181f8dfb4dd156558f44f1b95076799e82)
となり、この式の左辺にベクトル解析の公式
を適用して式変形すると
![{\displaystyle -\Delta {\boldsymbol {A}}+{\mathsf {grad}}({\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}})=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}-{\frac {1}{c^{2}}}\left({\mathsf {grad}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {A}}}{\partial t^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5517eadf8dcd35cfc3a0714a9b22ae3711c4c91)
となる。この式にダランベルシアンの定義式を代入すると
![{\displaystyle -\Box {\boldsymbol {A}}+{\mathsf {grad}}({\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}})=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}-{\mathsf {grad}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562d1a5f68032884f57627625046d9a1c9b43dd8)
より
![{\displaystyle \therefore \Box {\boldsymbol {A}}=-\mu _{0}{\boldsymbol {j}}+{\mathsf {grad}}\left({\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0607736746984b14e87fdb26ca4f3c55678b5b2f)
(6)
となる。
したがって、(5)式及び(6)式の右辺の第2項を消去すれば良いので、ローレンツ・ゲージ条件は
![{\displaystyle {\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0ec35890ca207bf604f2f0965b6e89e940fb5c)
となる。